Em cada item, mostre que a equação diferencial pode ser escrita em termos de uma função homogênea de grau zero e encontre uma família de soluções com a substituição v=\frac{y}{x}.
\left(2 y^{2}-x^{2}\right) y^{\prime}(x)+5 x y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(2y^{2}-x^{2})\,y'(x)+5xy=0.
Este é um caso de EDO em que as funções
P(x,y)=5xy \quad\text{e}\quad Q(x,y)=2y^{2}-x^{2}
são ambas homogêneas de grau 2, pois para todo t vale
P(tx,ty)=t^{2}P(x,y), \qquad Q(tx,ty)=t^{2}Q(x,y).
Portanto, podemos usar a substituição
v=\frac{y}{x},
típica de equações homogêneas.

Passo 2

Para aplicar v=y/x, escrevemos a derivada como
y'=v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo y=v x e y' na EDO original obtemos
\bigl(2(vx)^{2}-x^{2}\bigr)\Bigl(v + x\frac{dv}{dx}\Bigr) +5x\,(v x)=0.
Fatorando x^{2} em cada termo:
x^{2}(2v^{2}-1)\Bigl(v + x\frac{dv}{dx}\Bigr)+5x^{2}v=0
e dividindo por x^{2} (que não é zero) resulta em
(2v^{2}-1)\Bigl(v + x\frac{dv}{dx}\Bigr)+5v=0.

Passo 3

Expandindo e isolando o termo com \frac{dv}{dx}:
(2v^{2}-1)v + (2v^{2}-1)\,x\frac{dv}{dx} +5v=0 \quad\Longrightarrow\quad (2v^{2}-1)\,x\frac{dv}{dx} +2v(v^{2}+2)=0.
Isso leva à forma separável:
x\frac{dv}{dx} =-\frac{2v(v^{2}+2)}{2v^{2}-1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{2v^{2}-1}{2v(v^{2}+2)}\,dv =-\frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Decompomos
\frac{2v^{2}-1}{2v(v^{2}+2)} =-\frac12\frac1v+\frac{5}{2}\frac{v}{v^{2}+2},
logo
\int\Bigl(-\tfrac12\frac1v+\tfrac{5}{2}\frac{v}{v^{2}+2}\Bigr)dv =-\int\frac{dx}{x}.
Isso dá
-\tfrac12\ln|v| + \tfrac{5}{4}\ln\bigl(v^{2}+2\bigr) =-\ln|x|+C.
Reagrupando em forma de potência,
\ln\frac{\bigl(v^{2}+2\bigr)^{5}}{v^{2}}= -4\ln|x|+C \quad\Longrightarrow\quad \frac{\bigl(v^{2}+2\bigr)^{5}}{v^{2}}=K\,x^{-4},
com K=e^{C}.

Resposta

Substituindo v=\tfrac{y}{x}, a família geral de soluções vem dada implicitamente por
\bigl(v^{2}+2\bigr)^{5}x^{4}=K\,v^{2},
ou seja,
\boxed{(y^{2}+2x^{2})^{5}=K\,x^{4}y^{2},}
onde K é constante arbitrária.

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