Em cada item, mostre que a equação diferencial pode ser escrita em termos de uma função homogênea de grau zero e encontre uma família de soluções com a substituição
.
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Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
Este é um caso de EDO em que as funções
são ambas homogêneas de grau 2, pois para todo
vale
Portanto, podemos usar a substituição
típica de equações homogêneas.
Passo 2
Para aplicar
, escrevemos a derivada como
Substituindo
e
na EDO original obtemos
Fatorando
em cada termo:
e dividindo por
(que não é zero) resulta em
Passo 3
Expandindo e isolando o termo com
:
Isso leva à forma separável:
Passo 4
Integramos ambos os lados. Decompomos
logo
Isso dá
Reagrupando em forma de potência,
com
.
Resposta
Substituindo
, a família geral de soluções vem dada implicitamente por
ou seja,
onde
é constante arbitrária.