Encontre uma equação diferencial ordinária de primeira ordem que tenha as seguintes curvas integrais.
y=C e^{2 x}.

Passo 1

O enunciado nos dá a família de curvas integrais
y = C\,e^{2x}
com C constante arbitrária, e pede uma equação diferencial ordinária de primeira ordem que tenha exatamente essas řeisintegris como solução geral. Para isso, vamos usar o método de eliminar a constante diferenciando e substituindo.

Passo 2

Diferenciando y = C\,e^{2x} em relação a x, obtemos
y' = \frac{d}{dx}\bigl(C\,e^{2x}\bigr) = C\cdot 2e^{2x} = 2C\,e^{2x}.

Passo 3

Como C\,e^{2x} = y, substituímos na derivada para eliminar C:
y' = 2y.
Pondo na forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem, temos
y' - 2y = 0.

Resposta

y' - 2y = 0.

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