Encontre as soluções do problema de valor inicial sen (x) y^{\prime}(x)+\cos (x) y(x)=1 \operatorname{com} y\left(\frac{\pi}{2}\right)=a no intervalo (0, \pi). Existe algum valor de a para o qual a solução tem um limite finito quando x \rightarrow 0 ? E quando x \rightarrow \pi ?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem em (0,\pi)
\sin(x)\,y'(x)+\cos(x)\,y(x)=1
com condição inicial y\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=a.
O conteúdo é resolução de EDO linear de 1º ordem usando fator integrante.

Passo 2

Dividindo por \sin(x), obtemos a forma padrão
y'(x)+\cot(x)\,y(x)=\csc(x).
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int\cot(x)\,dx\Bigr) =\exp\!\bigl(\ln|\sin(x)|\bigr)=\sin(x),
pois em (0,\pi) temos \sin(x)>0.

Passo 3

Multiplicando a equação por \mu(x)=\sin(x), nota-se que
\sin(x)\,y'(x)+\cos(x)\,y(x) =\frac{d}{dx}\bigl(\sin(x)\,y(x)\bigr)=1.
Integrando,
\sin(x)\,y(x)=x+C,
portanto
y(x)=\frac{x+C}{\sin(x)}.
Impondo y\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=a e usando \sin(\tfrac\pi2)=1, vem
a=\frac{\tfrac\pi2+C}{1}\quad\Longrightarrow\quad C=a-\frac\pi2.
Logo
y(x)=\frac{x + a - \tfrac\pi2}{\sin(x)}.

Passo 4

Analisando x\to0^+: escrevemos
y(x) =\frac{a-\tfrac\pi2}{\sin(x)}+\frac{x}{\sin(x)}.
Como \tfrac{x}{\sin(x)}\to1 mas \tfrac{1}{\sin(x)}\sim\tfrac1x diverge, para ter limite finito é necessário
a-\frac\pi2=0\quad\Longrightarrow\quad a=\frac\pi2.
Nesse caso
\lim_{x\to0^+}y(x) =\lim_{x\to0^+}\frac{x}{\sin(x)}=1.

Passo 5

Analisando x\to\pi^-: seja h=\pi-x\to0^+. Então
\sin(x)=\sin(\pi-h)=\sin(h)\sim h, \qquad x + a - \tfrac\pi2=(\pi-h)+a-\tfrac\pi2 =\Bigl(a+\tfrac\pi2\Bigr)-h.
Logo
y(x) =\frac{a+\tfrac\pi2}{\sin(x)}-\frac{h}{\sin(x)} \sim\frac{a+\tfrac\pi2}{h}-1,
que só é finito se a+\tfrac\pi2=0, i.e.
a=-\frac\pi2.
Nesse caso
\lim_{x\to\pi^-}y(x)=-1.

Resposta

A solução geral satisfies y(x)=\dfrac{x + a-\tfrac\pi2}{\sin(x)}.
Para x\to0 ter limite finito é preciso a=\tfrac\pi2 e então \lim_{x\to0}y(x)=1.
Para x\to\pi ter limite finito é preciso a=-\tfrac\pi2 e então \lim_{x\to\pi}y(x)=-1.

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