Encontre as soluções do problema de valor inicial sen
no intervalo
. Existe algum valor de
para o qual a solução tem um limite finito quando
? E quando
?
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem em
com condição inicial
.
O conteúdo é resolução de EDO linear de 1º ordem usando fator integrante.
O conteúdo é resolução de EDO linear de 1º ordem usando fator integrante.
Passo 2
Dividindo por
, obtemos a forma padrão
O fator integrante é
pois em
temos
.
Passo 3
Multiplicando a equação por
, nota-se que
Integrando,
portanto
Impondo
e usando
, vem
Logo
Passo 4
Analisando
: escrevemos
Como
mas
diverge, para ter limite finito é necessário
Nesse caso
Passo 5
Analisando
: seja
. Então
Logo
que só é finito se
, i.e.
Nesse caso
Resposta
A solução geral satisfies
.
Para ter limite finito é preciso
e então
.
Para ter limite finito é preciso
e então
.
Para
Para