Em cada item, mostre que a função f é diferenciável no \left(x_{0}, y_{0}\right) e obtenha uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto P=\left(x_{0}, y_{0}, f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right).
f(x, y)=x \operatorname{sen}(x+y), P=(-1,1,0)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x\sin(x+y)
e o ponto
P=(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) = (-1,1,0).
Queremos mostrar que f é diferenciável em (-1,1) e achar a equação do plano tangente ao gráfico de f em P. Para isso, vamos usar que, se as derivadas parciais existem e são contínuas numa vizinhança de (x_0,y_0), então f é diferenciável aí, e o plano tangente é dado por
z - f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).

Passo 2

A função f(x,y)=x\sin(x+y) é combinação de produtos e da função \sin, todas diferenciáveis em \mathbb{R}^2. Logo, as derivadas parciais existem e são contínuas para todo (x,y), em particular em (-1,1). Portanto, f é diferenciável em (-1,1).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
f_x(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl[x\sin(x+y)\bigr] =\sin(x+y)+x\cos(x+y),
f_y(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl[x\sin(x+y)\bigr] =x\cos(x+y).
Em (x_0,y_0)=(-1,1) temos x_0+y_0=0, \sin0=0, \cos0=1. Logo
f_x(-1,1)=0+(-1)\cdot1=-1, \quad f_y(-1,1)=(-1)\cdot1=-1.

Passo 4

Usando a fórmula do plano tangente:
z - f(x_0,y_0) = f_x(x_0,y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y - y_0),
substituindo f(x_0,y_0)=0, f_x(-1,1)=-1, f_y(-1,1)=-1, x_0=-1, y_0=1, obtemos
z - 0 = -1\,(x+1) \;+\; -1\,(y-1),
z = -(x+1)-(y-1)= -x -1 -y +1 = -x - y.

Resposta

A função f é diferenciável em (-1,1) e o plano tangente ao gráfico de f em P é
\boxed{z = -\,x \;-\; y.}

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