Em cada item, mostre que a função
é diferenciável no
e obtenha uma equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
Queremos mostrar que
é diferenciável em
e achar a equação do plano tangente ao gráfico de
em
. Para isso, vamos usar que, se as derivadas parciais existem e são contínuas numa vizinhança de
, então
é diferenciável aí, e o plano tangente é dado por
Passo 2
A função
é combinação de produtos e da função
, todas diferenciáveis em
. Logo, as derivadas parciais existem e são contínuas para todo
, em particular em
. Portanto,
é diferenciável em
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Em
temos
,
,
. Logo
Passo 4
Usando a fórmula do plano tangente:
substituindo
,
,
,
,
, obtemos
Resposta
A função
é diferenciável em
e o plano tangente ao gráfico de
em
é