Determine a diferencial (derivada total) da função
z=e^{-2 x} \cos (2 \pi y)

Passo 1

O enunciado pede a diferencial total da função
z = e^{-2x}\cos(2\pi y).
Sabemos que a diferencial total é
dz = \frac{\partial z}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}\,dy.
Logo, precisamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e a y.

Passo 2

Para \frac{\partial z}{\partial x}, tratamos y como constante e aplicamos a regra da cadeia à exponencial. A derivada de e^{-2x} é -2e^{-2x}. Assim,
\frac{\partial z}{\partial x} = -2e^{-2x}\cos(2\pi y).

Passo 3

Para \frac{\partial z}{\partial y}, tratamos x como constante e derivamos \cos(2\pi y). A derivada de \cos(2\pi y) é -2\pi\sin(2\pi y). Portanto,
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{-2x}\,\bigl(-2\pi\sin(2\pi y)\bigr) = -2\pi e^{-2x}\sin(2\pi y).

Passo 4

Substituindo as derivadas parciais na fórmula da diferencial total, obtemos
dz = -2e^{-2x}\cos(2\pi y)\,dx \;-\;2\pi e^{-2x}\sin(2\pi y)\,dy.

Resposta

dz = -2e^{-2x}\cos(2\pi y)\,dx \;-\;2\pi e^{-2x}\sin(2\pi y)\,dy.

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