Em cada item, mostre que a função
é diferenciável no
e obtenha uma equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
Queremos mostrar que
é diferenciável em
e obter a equação do plano tangente ao gráfico de
em
. Para isso, vamos usar o fato de que polinômios têm derivadas parciais contínuas e a fórmula do plano tangente em duas variáveis.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
em
e em
.
A derivada parcial em é
A derivada parcial em
A derivada parcial em
é
Passo 3
Como
e
são funções polinomiais (logo contínuas) numa vizinhança de
, concluímos que
é diferenciável em
.
Passo 4
Agora avaliamos as derivadas parciais no ponto
:
Passo 5
A equação do plano tangente ao gráfico de
em
é dada por
Substituindo
,
,
,
e
, vem
Para simplificar, escrevemos
Resposta
A função
é diferenciável em
e o plano tangente ao gráfico de
em
é