Em cada item, mostre que a função f é diferenciável no \left(x_{0}, y_{0}\right) e obtenha uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto P=\left(x_{0}, y_{0}, f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right).
f(x, y)=3 y^{2}-2 x^{2}+x, P=(2,-1,-3)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y) = 3y^2 - 2x^2 + x
e o ponto
P = (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) = (2,-1,-3).
Queremos mostrar que f é diferenciável em (2,-1) e obter a equação do plano tangente ao gráfico de f em P. Para isso, vamos usar o fato de que polinômios têm derivadas parciais contínuas e a fórmula do plano tangente em duas variáveis.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f em x e em y.
A derivada parcial em x é
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3y^2\bigr) - \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^2\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}(x) = 0 - 4x + 1 = -4x + 1.
A derivada parcial em y é
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3y^2\bigr) - \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^2\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}(x) = 6y - 0 + 0 = 6y.

Passo 3

Como \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} são funções polinomiais (logo contínuas) numa vizinhança de (2,-1), concluímos que f é diferenciável em (2,-1).

Passo 4

Agora avaliamos as derivadas parciais no ponto (2,-1):
\frac{\partial f}{\partial x}(2,-1) = -4\cdot 2 + 1 = -8 + 1 = -7,
\frac{\partial f}{\partial y}(2,-1) = 6\cdot(-1) = -6.

Passo 5

A equação do plano tangente ao gráfico de f em P é dada por
z - z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y - y_0).
Substituindo x_0=2, y_0=-1, z_0=-3, f_x(2,-1)=-7 e f_y(2,-1)=-6, vem
z - (-3) = -7(x - 2) \;+\; (-6)(y + 1).
Para simplificar, escrevemos
z + 3 = -7x + 14 \;-\;6y - 6 \quad\Longrightarrow\quad z = -7x - 6y + 5.

Resposta

A função f é diferenciável em (2,-1) e o plano tangente ao gráfico de f em P é
\boxed{z = -7x \;-\; 6y \;+\;5.}

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