Em cada item, mostre que a função
é diferenciável no
e obtenha uma equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é diferenciável em
e obter a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
Para isso vamos usar o fato de que, se as derivadas parciais de
existem e são contínuas num entorno de
, então
é diferenciável lá e o plano tangente tem equação
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
. Escrevendo
, pela regra da cadeia e do produto:
Passo 3
Note que em qualquer ponto com
e
as expressões de
e
são combinações de raízes e quocientes de
e
que são contínuas. Em particular elas são contínuas num entorno de
. Pelo teorema de diferenciabilidade, isso garante que
é diferenciável em
.
Passo 4
Avaliamo-las em
:
Passo 5
Substituindo em
temos
Resposta
A função
é diferenciável em
e o plano tangente ao gráfico de
em
é