Em cada item, mostre que a função f é diferenciável no \left(x_{0}, y_{0}\right) e obtenha uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto P=\left(x_{0}, y_{0}, f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right).
f(x, y)=\sqrt{x y}, P=(1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x,y)=\sqrt{xy}
é diferenciável em (x_0,y_0)=(1,1) e obter a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto
P=(1,1,f(1,1))=(1,1,1).
Para isso vamos usar o fato de que, se as derivadas parciais de f existem e são contínuas num entorno de (1,1), então f é diferenciável lá e o plano tangente tem equação
z - f(1,1) \;=\; f_x(1,1)\,(x-1)\;+\;f_y(1,1)\,(y-1).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f. Escrevendo f(x,y)=(xy)^{1/2}, pela regra da cadeia e do produto:
f_x(x,y) =\tfrac12\,(xy)^{-1/2}\,\cdot y =\frac{1}{2}\,\sqrt{\frac{y}{x}},
f_y(x,y) =\tfrac12\,(xy)^{-1/2}\,\cdot x =\frac{1}{2}\,\sqrt{\frac{x}{y}}.

Passo 3

Note que em qualquer ponto com x>0 e y>0 as expressões de f_x e f_y são combinações de raízes e quocientes de x e y que são contínuas. Em particular elas são contínuas num entorno de (1,1). Pelo teorema de diferenciabilidade, isso garante que f é diferenciável em (1,1).

Passo 4

Avaliamo-las em (1,1):
f_x(1,1)=\frac12\sqrt{\frac{1}{1}}=\frac12, \quad f_y(1,1)=\frac12\sqrt{\frac{1}{1}}=\frac12.

Passo 5

Substituindo em
z - f(1,1)=f_x(1,1)\,(x-1)+f_y(1,1)\,(y-1)
temos
z - 1 = \frac12\,(x-1) + \frac12\,(y-1).

Resposta

A função f é diferenciável em (1,1) e o plano tangente ao gráfico de f em P=(1,1,1) é
\boxed{\,z - 1 = \tfrac12\,(x-1) + \tfrac12\,(y-1)\,}.

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