Em cada item, mostre que y1(x) é solução da equação dada. Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução fundamental.
y^prime prime-4 x y^prime+(4 x^2-2) y=0, onde y1(x)=e^x^2.

Passo 1

O problema apresenta a equação
y'' - 4x,y' + l(4x^2 - 2r)y = 0
e diz que uma solução é y1(x)=e^x^2. O conteúdo é método de redução de ordem: dado um sistema linear de segunda ordem com uma solução y1, buscamos outra solução y2 independente usando a fórmula de redução de ordem.

Passo 2

Mostramos que y1(x)=e^x^2 satisfaz a equação. Primeiro calculemos as derivadas de y1:
y1' = ddxe^x^2 = 2x,e^x^2, y1'' = ddxl(2x,e^x^2r) = 2,e^x^2 + 4x^2,e^x^2 = l(2 + 4x^2r)e^x^2
Substituindo na equação:
y1'' - 4x,y1' + (4x^2-2),y1 = l(2+4x^2r)e^x^2 -4xl(2x,e^x^2r) +(4x^2-2)e^x^2
Agrupando termos em e^x^2:
2 + 4x^2 - 8x^2 + 4x^2 - 2 = 0,
logo a soma é zero e y1 é de fato solução.

Passo 3

Para achar uma segunda solução y2 linearmente independente, usamos o ansatz
y2(x) = v(x),y1(x)
No método de redução de ordem, a fórmula direta é
y2 = y1(x),integral e^-integral P(x),dxy1(x)^2,dx,
onde a equação está na forma y''+P(x)y'+Q(x)y=0.

Passo 4

Reescrevendo nossa equação em forma padrão, vemos que P(x)=-4x. Então
-integral P(x),dx = -integral(-4x),dx = 2x^2,
e
e^-integral P,dx = e^2x^2
Como y1^2 = e^2x^2, o integrando fica
e^-integral P,dxy1^2 =e^2x^2e^2x^2=1
Portanto
v(x) = integral 1,dx = x,
e a segunda solução é
y2(x) = v(x),y1(x) = x,e^x^2

Resposta

As duas soluções fundamentais são
y1(x) = e^x^2, y2(x) = x,e^x^2

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