Em cada item, mostre que
é solução da equação dada. Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução fundamental.
, onde
.
Passo 1
O problema apresenta a equação
e diz que uma solução é
. O conteúdo é método de redução de ordem: dado um sistema linear de segunda ordem com uma solução
, buscamos outra solução
independente usando a fórmula de redução de ordem.
Passo 2
Mostramos que
satisfaz a equação. Primeiro calculemos as derivadas de
:
Substituindo na equação:
Agrupando termos em
:
logo a soma é zero e
é de fato solução.
Passo 3
Para achar uma segunda solução
linearmente independente, usamos o ansatz
No método de redução de ordem, a fórmula direta é
onde a equação está na forma
.
Passo 4
Reescrevendo nossa equação em forma padrão, vemos que
. Então
e
Como
, o integrando fica
Portanto
e a segunda solução é
Resposta
As duas soluções fundamentais são