Mostre que o ponto
é um ponto singular regular para a equação de CauchyEuler,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
é um ponto singular regular da equação de Cauchy–Euler
O conteúdo que vamos usar é a teoria de pontos singulares de equações lineares de segunda ordem: recorde que, na forma padrão
um ponto
é
— ordinário se e
são analíticas em
,
— singular regular se, embora ou
tenham singularidade em
, as funções
e
são analíticas em
.
— ordinário se
— singular regular se, embora
Passo 2
Dividimos a equação dada por
para escrevê-la na forma padrão. Isso dá
Passo 3
Observamos que em
x=0 nem
P(x)=a/x nem
Q(x)=b/x^2 são analíticas (ambas têm pólos em zero). Logo
x=0 é um ponto singular — não ordinário.
Passo 4
Verificamos agora a condição de singular regular:
Como
a e
b são constantes, ambas as funções
xP(x) e
x^2Q(x) são analíticas em
x=0 .
Resposta
Portanto,
x0=0 é de fato um ponto singular regular para a equação