Mostre que o ponto x0=0 é um ponto singular regular para a equação de CauchyEuler, x^2 y^prime prime+a x y^prime+b y=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que x0=0 é um ponto singular regular da equação de Cauchy–Euler
x^2y'' + a,x,y' + b,y = 0
O conteúdo que vamos usar é a teoria de pontos singulares de equações lineares de segunda ordem: recorde que, na forma padrão
y'' + P(x),y' + Q(x),y = 0,
um ponto x0 é
— ordinário se P e Q são analíticas em x0,
— singular regular se, embora P ou Q tenham singularidade em x0, as funções (x - x0),P(x) e (x - x0)^2,Q(x) são analíticas em x0.

Passo 2

Dividimos a equação dada por x^2 para escrevê-la na forma padrão. Isso dá
y'' + underbraceaxP(x),y' + underbracebx^2Q(x),y = 0

Passo 3

Observamos que em x=0 nem P(x)=a/x nem Q(x)=b/x^2 são analíticas (ambas têm pólos em zero). Logo x=0 é um ponto singular — não ordinário.

Passo 4

Verificamos agora a condição de singular regular:
(x-0),P(x) = xcdotax = a,
(x-0)^2,Q(x) = x^2cdotbx^2 = b
Como a e b são constantes, ambas as funções xP(x) e x^2Q(x) são analíticas em x=0.

Resposta

Portanto, x0=0 é de fato um ponto singular regular para a equação
x^2y'' + a,x,y' + b,y = 0

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