Dado z=x^2+y^2+x y, x(t)=sen(t), y(t)=e^t, calcule zt

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
z = x^2 + y^2 + xy
e as parametrizações
x(t)=sin(t), y(t)=e^t
O que precisamos é a derivada de z em relação a t, isto é, zt = dfracdzdt. Vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z:
partial zpartial x = 2x + y, partial zpartial y = 2y + x

Passo 3

Agora obtemos as derivadas das parametrizações:
x'(t) = ddtl(sin(t)r) = cos(t), y'(t) = ddtl(e^tr) = e^t

Passo 4

Pela regra da cadeia em várias variáveis,
dzdt = partial zpartial x,x'(t) + partial zpartial y,y'(t)

Passo 5

Substituindo as expressões de partial z/partial x, partial z/partial y, x(t), y(t), x'(t) e y'(t):
dzdt = l(2x + yr)cos(t) + l(2y + xr)e^t
= l(2sin(t)+e^tr)cos(t) + l(2e^t+sin(t)r)e^t

Passo 6

Se quisermos, podemos reorganizar:
dzdt = 2sin(t)cos(t) + e^tcos(t) + 2e^2t + sin(t),e^t
= sinl(2tr) + e^tcos(t) + e^tsin(t) + 2e^2t

Resposta

zt = sin(2t) + e^tcos(t) + e^tsin(t) + 2e^2t

Exercícios relacionados