Resolva os seguintes sistemas através do escalonamento:
\left\{\begin{array}{cc}x+6 y-8 z= & 1 \\\\ 2 x+6 y-4 z= & 0\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com duas equações e três incógnitas:
\begin{cases} x + 6y - 8z = 1,\\\\ 2x + 6y - 4z = 0.
Vamos usar escalonamento (operações elementares em linhas) para triangular a matriz aumentada e depois expressar as incógnitas em função de um parâmetro.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
\begin{pmatrix} 1 & 6 & -8 & \vrule & 1\\\\ 2 & 6 & -4 & \vrule & 0 \end{pmatrix}.
Aplicamos L_2 \leftarrow L_2 - 2\,L_1 para eliminar x da segunda linha, obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 6 & -8 & \vrule & 1\\\\ 0 & -6 & 12 & \vrule & -2 \end{pmatrix}.
Em seguida, dividimos a segunda linha por -6,
\begin{pmatrix} 1 & 6 & -8 & \vrule & 1\\\\ 0 & 1 & -2 & \vrule & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.

Passo 3

Da segunda linha temos
y - 2z = \tfrac{1}{3},
portanto
y = 2z + \tfrac{1}{3}.
Agora substituímos esse y na primeira equação x + 6y - 8z = 1:
x + 6\Bigl(2z + \tfrac{1}{3}\Bigr) - 8z = 1.
Desenvolvendo,
x + 12z + 2 - 8z = 1 \quad\Longrightarrow\quad x + 4z = -1 \quad\Longrightarrow\quad x = -1 - 4z.

Passo 4

Como há menos equações do que incógnitas, z é livre. Seja z = t, com t\in\mathbb{R}. Logo
x = -1 - 4t,\quad y = \tfrac{1}{3} + 2t,\quad z = t.

Resposta

A solução geral do sistema é
\{(x,y,z)\mid x = -1 - 4t,\;y = \tfrac{1}{3} + 2t,\;z = t,\;t\in\mathbb{R}\}.

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