Em cada item, reescreva a integral iterada em todas as possíveis ordens de integração (não precisa resolver a integral). Sugestão. Consulte os exercício P3 e C2 da lista de exercícios 1.6 e você não precisará fazer nenhuma conta aqui.
integral0^1 integral0^1-y integral0^1-x-y(2 x y^2-z x) d z d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para, dada a integral iterada
integraly=0^1integralx=0^1-yintegralz=0^1-x-yl(2x y^2-z xr),dz,dx,dy,
reescrevê-la em todas as seis ordens possíveis de integração, sem precisar calcular o valor.

Passo 2

O domínio de integração é
D = (x,y,z)mid x>=0,;y>=0,;z>=0,;x+y+z<=1,
que é um tetraedro no primeiro octante. Em cada ordem, a variável que aparece por último no diferencial (ou seja, a primeira a ser integrada) vai de 0 até 1 menos a soma das duas variáveis que vêm depois, e assim por diante.

Passo 3

Casos em que x é a variável externa ( x de 0 a 1):
integralx=0^1integraly=0^1-xintegralz=0^1-x-yl(2x y^2-z xr),dz,dy,dx
integralx=0^1integralz=0^1-xintegraly=0^1-x-zl(2x y^2-z xr),dy,dz,dx

Passo 4

Casos em que y é a variável externa ( y de 0 a 1):
integraly=0^1integralx=0^1-yintegralz=0^1-x-yl(2x y^2-z xr),dz,dx,dy
integraly=0^1integralz=0^1-yintegralx=0^1-y-zl(2x y^2-z xr),dx,dz,dy

Passo 5

Casos em que z é a variável externa ( z de 0 a 1):
integralz=0^1integralx=0^1-zintegraly=0^1-x-zl(2x y^2-z xr),dy,dx,dz
integralz=0^1integraly=0^1-zintegralx=0^1-y-zl(2x y^2-z xr),dx,dy,dz

Resposta

  1. integralx=0^1integraly=0^1-xintegralz=0^1-x-yl(2x y^2-z xr),dz,dy,dx
  2. integralx=0^1integralz=0^1-xintegraly=0^1-x-zl(2x y^2-z xr),dy,dz,dx
  3. integraly=0^1integralx=0^1-yintegralz=0^1-x-yl(2x y^2-z xr),dz,dx,dy
  4. integraly=0^1integralz=0^1-yintegralx=0^1-y-zl(2x y^2-z xr),dx,dz,dy
  5. integralz=0^1integralx=0^1-zintegraly=0^1-x-zl(2x y^2-z xr),dy,dx,dz
  6. integralz=0^1integraly=0^1-zintegralx=0^1-y-zl(2x y^2-z xr),dx,dy,dz

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