Calcule algebricamente, os seguintes Limites:
lim x -infty raizx^2-2 x+4+2 x

Passo 1

O enunciado pede o limite quando xto -infty da expressão
raizx^2-2x+4+2x
O conteúdo aqui é manipular limites no infinito envolvendo raiz quadrada, usando o truque de racionalizar (multiplicar pelo conjugado) para expor os termos dominantes e determinar o comportamento assintótico.

Passo 2

Multiplicamos por tfracraizx^2-2x+4-2xraizx^2-2x+4-2x para racionalizar:
raizx^2-2x+4+2x =l(raizx^2-2x+4+2xr)l(raizx^2-2x+4-2xr)raizx^2-2x+4-2x =,x^2-2x+4-4x^2,raizx^2-2x+4-2x
No numerador fica
x^2-2x+4-4x^2=-3x^2-2x+4,
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raizx^2-2x+4+2x =-3x^2-2x+4raizx^2-2x+4-2x

Passo 3

Para xto -infty, o numerador é da ordem de -3x^2 e o denominador behave assim:
raizx^2-2x+4=lvert xrvertraiz1-tfrac2x+tfrac4x^2 =-x,(1+o(1)) Longrightarrow raizx^2-2x+4-2xsim -x-2x=-3x
Portanto
-3x^2-2x+4raizx^2-2x+4-2x sim-3x^2-3x=x,
e como xto -infty, o quociente tende a -infty.

Resposta

-infty

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