Calcular
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
sobre a curva paramatrizada por
O conteúdo envolvido é diferencial exato em duas variáveis. Para resolver, vamos verificar se a forma
é exata, encontrar uma potencial
e usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a forma é exata.
Passo 3
Existe
tal que
Integramos em
, tratando
como constante:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Para achar
, usamos
Da igualdade segue
logo
Assim
Passo 5
Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha,
Em
,
e
Em
,
e
Portanto