Calcular integralC 2 xy^3 d x+y^2-3 x^2y^4 d y, onde C: x=2-2 t, y=-1+4 t, t in[0,1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC 2xy^3,dx ;+;y^2-3x^2y^4,dy
sobre a curva paramatrizada por
x=2-2t, y=-1+4t, tin[0,1]
O conteúdo envolvido é diferencial exato em duas variáveis. Para resolver, vamos verificar se a forma P,dx+Q,dy é exata, encontrar uma potencial f(x,y) e usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=2xy^3 e Q(x,y)=y^2-3x^2y^4
Calculamos as derivadas parciais
partial Ppartial y =partialpartial yl(2x,y^-3r) =-6x,y^-4,
partial Qpartial x =partialpartial xl((y^2-3x^2),y^-4r) =-6x,y^-4
Como partial P/partial y = partial Q/partial x, a forma é exata.

Passo 3

Existe f(x,y) tal que
partial fpartial x=P=2xy^3
Integramos em x, tratando y como constante:
f(x,y) =integral 2xy^3,dx =x^2y^3 + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), usamos
partial fpartial y =-3,x^2y^4 + h'(y) stackrel!=Q=y^2-3x^2y^4 =y^2y^4-3x^2y^4 =;y^-2-3,x^2y^4
Da igualdade segue
h'(y)=y^-2,
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h(y)=integral y^-2,dy=-y^-1+C
Assim
f(x,y)=x^2y^3-1y

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha,
integralCP,dx+Q,dy =fl(x(1),y(1)r)-fl(x(0),y(0)r)
Em t=0, (x,y)=(2,-1) e
f(2,-1)=2^2(-1)^3-1-1 =-4+1=-3
Em t=1, (x,y)=(0,3) e
f(0,3)=0-13=-tfrac13
Portanto
integralCP,dx+Q,dy =l(-tfrac13r)-(-3) =83

Resposta

83

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