Esboce o gráfico e calcule a área das regiões indicadas abaixo:
Região compreendida entre os gráficos das funções y=x^2-3 x e y=-x^2+3 x.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico e calcular a área da região limitada pelas curvas
y = x^2 - 3x
e
y = -x^2 + 3x
O conteúdo envolvido é cálculo de área entre curvas usando integração definida. Para isso precisamos:
  1. Determinar os pontos de interseção.
  2. Verificar qual função fica por cima no intervalo de integração.
  3. Montar e calcular a integral da diferença das funções.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção resolvemos
x^2 - 3x = -x^2 + 3x
ou seja
2x^2 - 6x = 0 ;Longrightarrow; 2x(x - 3) = 0 ;Longrightarrow; x = 0 ou x = 3
Substituindo em y = x^2 -3x (ou em y = -x^2+3x) obtemos y=0. Logo as curvas se cruzam em (0,0) e (3,0).

Passo 3

Entre x=0 e x=3 temos, por exemplo em x=1:
y1 = 1^2 - 3cdot1 = -2, y2 = -1^2 + 3cdot1 = 2,
logo
-y^2 +3x ;=;y2
é a curva superior e
y1 = x^2 -3x
é a curva inferior nesse intervalo.

Passo 4

A área A entre as duas curvas de x=0 até x=3 é dada por
A = integral0^3 l[ysup - yinfr],dx = integral0^3 l[(-x^2 + 3x) - (x^2 - 3x)r] dx = integral0^3 (-2x^2 + 6x),dx

Passo 5

Calculando a integral:
integral (-2x^2 + 6x),dx = -tfrac23x^3 + 3x^2
e avaliando de 0 a 3:
A = l[-tfrac23x^3 + 3x^2r]0^3 = l(-tfrac23cdot27 + 3cdot9r) - 0 = (-18 + 27) = 9

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é 9 unidades de área.

Exercícios relacionados