Em cada item, a região delimitada pelas curvas abaixo é rotacionada em torno do eixo dado gerando um sólido. Calcule o volume do sólido.
e o eixo
em torno do eixo
.
Passo 1
A questão pede para calcular o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo
, a região limitada pelas curvas
,
e o eixo-x. Esse problema envolve o tópico de volume de sólidos de revolução e vamos precisar usar o método das cascas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região no plano xy: ela é fechada pelas curvas que partem de (0,0), seguem pela reta
até (2,8) e depois voltam ao ponto de origem pela curva
. Como a rotação é em torno de um eixo vertical e a região está descrita em função de
, o método das cascas cilíndricas é o mais direto.
Passo 3
No método das cascas cilíndricas, consideramos uma tira vertical de espessura
a uma abscissa
. Ao girar essa tira em torno do eixo
, ela gera uma casca de raio
e altura dada por
. A fórmula geral é:
Aqui,
Passo 4
Substituindo os valores de raio e altura, montamos a integral:
Para calcular a integral, usamos:
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