Em cada item, a região delimitada pelas curvas abaixo é rotacionada em torno do eixo dado gerando um sólido. Calcule o volume do sólido.
y=x^3, x=2 e o eixo x em torno do eixo y.

Passo 1

A questão pede para calcular o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo y, a região limitada pelas curvas y=x^3, x=2 e o eixo-x. Esse problema envolve o tópico de volume de sólidos de revolução e vamos precisar usar o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região no plano xy: ela é fechada pelas curvas que partem de (0,0), seguem pela reta x=2 até (2,8) e depois voltam ao ponto de origem pela curva y=x^3. Como a rotação é em torno de um eixo vertical e a região está descrita em função de x, o método das cascas cilíndricas é o mais direto.

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, consideramos uma tira vertical de espessura dx a uma abscissa x. Ao girar essa tira em torno do eixo y, ela gera uma casca de raio x e altura dada por y=x^3. A fórmula geral é:
V = 2pi integrala^b (raio)(a
Aqui, a=0 e b=2.

Passo 4

Substituindo os valores de raio e altura, montamos a integral:
V = 2pi integral0^2 x cdot x^3,dx = 2pi integral0^2 x^4,dx
Para calcular a integral, usamos:
integral0^2 x^4,dx = x^55|0^2 = 325
Logo,
V = 2pi cdot 325 = 64pi5

Resposta

64pi5

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