Derive e simplifique.

Passo 1

Temos a função f(x)=sen^2(4x^3). O conteúdo aqui é a aplicação da regra da cadeia para uma potência e depois para a função seno. Para resolver, vamos usar que a derivada de [g(x)]^2 é 2g(x)g'(x), que a derivada de sen(u) é cos(u),u', e que a derivada de 4x^3 é 12x^2.

Passo 2

Aplicamos primeiro a regra da cadeia na potência: seja g(x)=sen(4x^3). Então derivando f(x)=[g(x)]^2 obtemos
f'(x)=2,g(x),g'(x)=2,sen(4x^3),ddx[sen(4x^3)]
Agora derivamos sen(4x^3): se u(x)=4x^3, então u'(x)=12x^2 e
ddx[sen(4x^3)] = cos(4x^3),12x^2
Substituindo, vem
f'(x)=2,sen(4x^3),(cos(4x^3),12x^2)=24x^2,sen(4x^3),cos(4x^3)

Passo 3

Para simplificar, usamos a identidade trigonométrica sen(2theta)=2,sen(theta),cos(theta). Tomando theta=4x^3 temos
sen(4x^3),cos(4x^3)=tfrac12,sen(8x^3)
Logo,
f'(x)=24x^2timestfrac12,sen(8x^3)=12x^2,sen(8x^3)

Resposta

12x^2,sen(8x^3)

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