Esboce e identifique os gráficos das seguintes curvas em coordenadas polares.
(l) r^2=-16(sen 2 theta)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e identificar a curva dada em coordenadas polares por r^2=-16sin2theta. O conteúdo trabalhado é curvas em coordenadas polares e vamos precisar usar o fato de que, para existir ponto real, devemos ter r^2>=0, além de reconhecer formatos padrões como a lemniscata de Bernoulli.

Passo 2

Para garantir que r^2>=0, impomos
-16sin2theta>=0
que equivale a
sin2theta<=0
Como sin2theta tem período pi, esse sinal negativo ocorre quando
thetain[tfracpi2,,pi]cup[tfrac3pi2,,2pi]

Passo 3

Isolando r, obtemos as duas soluções
r=pm4raiz-sin2theta
Na prática, para esboçar, usamos só a parte positiva
r(theta)=4raiz-sin2theta,
e varremos theta nos intervalos onde -sin2theta>=0.

Passo 4

Lembrando que a curva padrão
r^2=a^2sin2theta
é a lemniscata de Bernoulli com parâmetro a, vemos que
r^2=-16sin2theta=16sinl(2theta-pir)
é exatamente a mesma lemniscata com a=4, porém rotacionada de pi/2.

Passo 5

Isso significa que o gráfico é um símbolo de infinito (lemniscata) com dois lóbulos de raio máximo 4. Um lobo fica centrado em theta=3pi/4 e o outro em theta=7pi/4. No esboço, basta desenhar essas duas pétalas simétricas ao redor da origem, cada uma alcançando r=4.

Resposta

É uma lemniscata de Bernoulli com parâmetro a=4, orientada ao longo das direções theta=3pi/4 e theta=7pi/4, com lóbulos de raio máximo igual a 4.

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