Construa os gráficos das seguintes funções

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função f(x)=l|,|x^2-4|-6r|. Isto envolve entender o valor absoluto e como particionar a reta em intervalos onde a expressão interna muda de sinal.

Passo 2

Reescrevemos f(x) como f(x)=|g(x)|, onde definimos g(x)=|x^2-4|-6. Para tratar g(x), primeiro definimos h(x)=|x^2-4|.
Usando a definição de valor absoluto, temos
h(x)=|x^2-4|=x^2-4,&|x|>=2,4-x^2,&|x|<=2
Então
g(x)=h(x)-6=x^2-10,&|x|>=2,-x^2-2,&|x|<=2

Passo 3

Encontramos as raízes de g(x) apenas no ramo x^2-10:
x^2-10=0implies x=pmraiz10approxpm3,1623
No ramo -x^2-2 não há raízes reais pois (-x^2-2)\le-2<0\ sempre.

Passo 4

Como f(x)=|g(x)|, definimos cada trecho por
f(x)=x^2-10,&|x|>=raiz10,10-x^2,&2<=|x|<=raiz10,x^2+2,&|x|<=2
Os pontos-chave são
f(0)=2, f(pm2)=6 e f(pmraiz10)=0.

Passo 5

O gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Em cada intervalo temos arcos de parábola:
  • Para |x|<=2: parábola x^2+2 com vértice em (0,2).
  • Para 2<=|x|<=raiz10: parábola invertida 10-x^2 que vai de 6 até 0.
  • Para |x|>=raiz10: parábola x^2-10 que cresce a partir de zero.
    Com esses trechos e a simetria, traça-se o gráfico completo de f(x).

Resposta

f(x)= x^2-10, &|x|>=raiz10, 10-x^2, &2<=|x|<=raiz10, x^2+2, &|x|<=2

Exercícios relacionados