Em cada item, a região delimitada pelas curvas abaixo é rotacionada em torno do eixo dado gerando um sólido. Calcule o volume do sólido.
e
em torno da reta
.
Passo 1
A questão pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta x=−1 a região entre as curvas y=x² (abaixo) e y²=x (que equivale a y=√x, acima), no intervalo onde elas se encontram. O conteúdo é volume de revolução e vamos usar o método das cascas cilíndricas, precisando primeiro achar os pontos de interseção.
Passo 2
Para achar onde y=x² e x=y² se cruzam, substituímos x=y² em y=x²: temos y=(y²)²=y^4. Assim:
Logo y=0 ou y=1. Isso dá os pontos (0,0) e (1,1).
Passo 3
No método das cascas cilíndricas, tomamos uma casca vertical em x, de espessura dx. A distância ao eixo x=−1 é o raio r(x)=x−(−1)=x+1, e a altura é a diferença entre a função de cima e a de baixo: h(x)=√x−x². Assim:
Passo 4
Agora expandimos o integrando e integramos termo a termo:
Logo:
Passo 5
Calculando cada integral:
Passo 6
Somando:
Passo 7
Multiplicando por 2π vem: