Em cada item, a região delimitada pelas curvas abaixo é rotacionada em torno do eixo dado gerando um sólido. Calcule o volume do sólido.
y=x^2 e y^2=x em torno da reta x=-1.

Passo 1

A questão pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta x=−1 a região entre as curvas y=x² (abaixo) e y²=x (que equivale a y=√x, acima), no intervalo onde elas se encontram. O conteúdo é volume de revolução e vamos usar o método das cascas cilíndricas, precisando primeiro achar os pontos de interseção.

Passo 2

Para achar onde y=x² e x=y² se cruzam, substituímos x=y² em y=x²: temos y=(y²)²=y^4. Assim:
y^4-y=0
y(y^3-1)=0
Logo y=0 ou y=1. Isso dá os pontos (0,0) e (1,1).

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, tomamos uma casca vertical em x, de espessura dx. A distância ao eixo x=−1 é o raio r(x)=x−(−1)=x+1, e a altura é a diferença entre a função de cima e a de baixo: h(x)=√x−x². Assim:
V=2piintegral0^1(x+1)l(raizx-x^2r),dx

Passo 4

Agora expandimos o integrando e integramos termo a termo:
(x+1)(raizx-x^2)=x^3/2-x^3+x^1/2-x^2,
Logo:
V=2piintegral0^1l(x^3/2+x^1/2-x^2-x^3r),dx

Passo 5

Calculando cada integral:
integral0^1x^3/2dx=25,integral0^1x^1/2dx=23,integral0^1x^2dx=13,integral0^1x^3dx=14

Passo 6

Somando:
25+23-13-14=2960

Passo 7

Multiplicando por 2π vem:
V=2picdot2960=29pi30

Resposta

29pi30

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