Nos items abaixo, calcule nabla times F e nabla cdot F.
F(x, y, z)=(3 x+y) i+x y^2 z j+x z^2 k

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular o rotacional e a divergência de um campo vetorial de três componentes. Isso é cálculo vetorial: vamos usar derivadas parciais e as definições de ∇·F (divergente) e ∇×F (rotacional).

Passo 2

Pra divergência, lembramos que pra um campo F=(P,,Q,,R),
nablacdotF=partial Ppartial x+partial Qpartial y+partial Rpartial z

Passo 3

Aqui P=3x+y, Q=xy^2z e R=xz^2. Vamos calcular cada derivada parcial:
  • partial Ppartial x=partial (3x+y)partial x=3
  • partial Qpartial y=partial (xy^2z)partial y=2xyz
  • partial Rpartial z=partial (xz^2)partial z=2xz

Passo 4

Somando tudo a gente obtém a divergência:
nablacdotF=3+2xyz+2xz

Passo 5

Para o rotacional, usamos a definição via determinante formal:
nablatimesF=i&j&k[4pt]partialx&partialy&partialz[4pt]P&Q&R

Passo 6

Isso dá as componentes:
  • Componente i: partial Rpartial y-partial Qpartial z=0-(xy^2)= -xy^2
  • Componente j: partial Ppartial z-partial Rpartial x=0-(z^2)= -z^2
  • Componente k: partial Qpartial x-partial Ppartial y=y^2z-1

Passo 7

Portanto o rotacional é
nablatimesF=-xy^2,i-z^2,j+(y^2z-1),k

Resposta

nablatimesF=-xy^2,i-z^2,j+(y^2z-1),k, nablacdotF=3+2xyz+2xz

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