Em cada item, a região delimitada pelas curvas abaixo é rotacionada em torno do eixo dado gerando um sólido. Calcule o volume do sólido.
y=4 x-x^2 e y=x em torno da reta x=3.

Passo 1

Primeiro, resumindo: queremos o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno de x=3 a região entre y=4x - x^2 e y=x. Esse problema a gente resolve bem com o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Pra montar a integral, precisamos saber os limites em x. Igualando 4x - x^2 = x x(x-3)=0, então as curvas se intersectam em x=0 e x=3.

Passo 3

No método das cascas, consideramos uma tirinha vertical em x. O raio da casca é a distância até a reta x=3, ou seja rho = 3 - x. A altura é a diferença entre o topo y=4x - x^2 e a base y=x, ou seja h = (4x - x^2) - x = 3x - x^2. Então o volume de cada casca é dV = 2pi,rho,h,dx = 2pi (3 - x)(3x - x^2),dx.

Passo 4

Agora montamos a integral para todo x de 0 a 3:
V = 2pi integral0^3 (3 - x)(3x - x^2),dx
Expandindo o integrando:
(3 - x)(3x - x^2) = 9x - 6x^2 + x^3

Passo 5

Basta integrar termo a termo:
integral0^3 (9x - 6x^2 + x^3),dx = l[tfrac92x^2 - 2x^3 + tfrac14x^4r]0^3 = tfrac274
Multiplicando por 2pi:
V = 2pi times tfrac274 = tfrac27pi2

Resposta

27pi2

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