Em cada item, a região delimitada pelas curvas abaixo é rotacionada em torno do eixo dado gerando um sólido. Calcule o volume do sólido.
e
em torno da reta
.
Passo 1
Primeiro, resumindo: queremos o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno de
a região entre
e
. Esse problema a gente resolve bem com o método das cascas cilíndricas.
Passo 2
Pra montar a integral, precisamos saber os limites em
. Igualando
dá
, então as curvas se intersectam em
e
.
Passo 3
No método das cascas, consideramos uma tirinha vertical em
. O raio da casca é a distância até a reta
, ou seja
. A altura é a diferença entre o topo
e a base
, ou seja
. Então o volume de cada casca é
.
Passo 4
Agora montamos a integral para todo
de 0 a 3:
Expandindo o integrando:
Passo 5
Basta integrar termo a termo:
Multiplicando por
: