Nos items abaixo, calcule
e
.
Passo 1
O problema pede para calcular o rotacional (
) e a divergência (
) do campo vetorial
. Vamos usar as definições de cálculo vetorial e derivadas parciais para obter os resultados.
Passo 2
A divergência de um campo
é dada por
Aqui temos
Calculando as derivadas:
Somando, achamos
Passo 3
Para o rotacional usamos a fórmula
$$\nabla\times\mathbf{F}=iggl(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\biggr)\mathbf{i}+\biggl(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\biggr)\mathbf{j}+\biggl(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\biggr)\mathbf{k}.
$$
Precisamos então das derivadas parciais:
Precisamos então das derivadas parciais:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do rotacional, obtemos
Logo,
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