Em cada item a seguir calcule as integrais de linha.
, onde
é a curva dada por
e
no sentido anti-horário
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a curva
é dada parametricamente por
Informações relevantes fornecidas:
é a função escalar a ser integrada sobre
; a parametrização
,
e o intervalo de parâmetro
são dados; a orientação (anti-horário) não altera integrais de funções escalares com
.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada passo a passo):
Para uma função escalar
e uma curva
parametrizada por
,
,
, a integral de linha da função sobre a curva em termos do elemento de comprimento
é
O que cada símbolo significa:
-
é a função que estamos integrando (aqui ); -
são as componentes da parametrização da curva; -
são as derivadas das componentes em relação a ; -
é a velocidade (módulo do vetor velocidade) e representa quanto o comprimento da curva cresce por unidade de ; - a integral no lado direito é uma integral usual em
no intervalo .
Exemplo rápido: se
em
e
, então a integral seria
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
- Primeiro calculamos as derivadas:
- A velocidade é constante:
- Substituímos
e na função :
Portanto a integral vira
Passo 4
Agora precisamos calcular a integral
.
Usamos a identidade trigonométrica (muito útil para produtos de senos/cossenos):
Usamos a identidade trigonométrica (muito útil para produtos de senos/cossenos):
Aqui tomamos
e
. Assim
Como
, obtemos
Substituindo na integral:
Passo 5
Integramos termo a termo. Lembrando que
(pois derivada de
é
):
Portanto a integral definida é
Passo 6
Avaliamo os senos nos limites:
- Em
: . . - Em
: e .
Então o valor da expressão é