Em cada item a seguir calcule as integrais de linha.
\int_{C} \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y) d s, onde C é a curva dada por \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) e (0, \pi) no sentido anti-horário
x=5 t, \quad y=7 t, \quad 0 \leq t \leq \frac{\pi}{4} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} \operatorname{sen}(x)\operatorname{sen}(y)\,ds,
onde a curva C é dada parametricamente por
x=5t,\qquad y=7t,\qquad 0\le t\le \frac{\pi}{4}.
Informações relevantes fornecidas:
\operatorname{sen}(x)\operatorname{sen}(y) é a função escalar a ser integrada sobre C; a parametrização x(t)=5t, y(t)=7t e o intervalo de parâmetro t\in[0,\pi/4] são dados; a orientação (anti-horário) não altera integrais de funções escalares com ds.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada passo a passo):
Para uma função escalar f(x,y) e uma curva C parametrizada por x=x(t), y=y(t), t\in[a,b], a integral de linha da função sobre a curva em termos do elemento de comprimento ds é
\int_{C} f(x,y)\,ds = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\sqrt{\bigg(\frac{dx}{dt}\bigg)^2+\bigg(\frac{dy}{dt}\bigg)^2}\;dt.
O que cada símbolo significa:
  • f(x,y) é a função que estamos integrando (aqui f(x,y)=\operatorname{sen}(x)\operatorname{sen}(y));
  • x(t),y(t) são as componentes da parametrização da curva;
  • \frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt} são as derivadas das componentes em relação a t;
  • \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2} é a velocidade (módulo do vetor velocidade) e representa quanto o comprimento da curva cresce por unidade de t;
  • a integral no lado direito é uma integral usual em t no intervalo [a,b].
Exemplo rápido: se x=t,y=t em [0,1] e f(x,y)=x, então a integral seria \int_0^1 t\sqrt{1^2+1^2}\,dt=\sqrt{2}\int_0^1 t\,dt.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
  • Primeiro calculamos as derivadas:
\frac{dx}{dt}=5,\qquad \frac{dy}{dt}=7.
  • A velocidade é constante:
\sqrt{\bigg(\frac{dx}{dt}\bigg)^2+\bigg(\frac{dy}{dt}\bigg)^2}=\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{25+49}=\sqrt{74}.
  • Substituímos x(t)=5t e y(t)=7t na função f:
f\big(x(t),y(t)\big)=\operatorname{sen}(5t)\operatorname{sen}(7t).
Portanto a integral vira
\int_{C}\operatorname{sen}(x)\operatorname{sen}(y)\,ds = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{sen}(5t)\operatorname{sen}(7t)\,\sqrt{74}\;dt = \sqrt{74}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{sen}(5t)\operatorname{sen}(7t)\;dt.

Passo 4

Agora precisamos calcular a integral \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{sen}(5t)\operatorname{sen}(7t)\;dt.
Usamos a identidade trigonométrica (muito útil para produtos de senos/cossenos):
\operatorname{sen}A\operatorname{sen}B=\tfrac{1}{2}\big(\cos(A-B)-\cos(A+B)\big).
Aqui tomamos A=5t e B=7t. Assim
\operatorname{sen}(5t)\operatorname{sen}(7t)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(5t-7t)-\cos(5t+7t)\big)=\tfrac{1}{2}\big(\cos( -2t)-\cos(12t)\big).
Como \cos(-2t)=\cos(2t), obtemos
\operatorname{sen}(5t)\operatorname{sen}(7t)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(2t)-\cos(12t)\big).
Substituindo na integral:
\sqrt{74}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{sen}(5t)\operatorname{sen}(7t)\;dt = \sqrt{74}\cdot\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\big(\cos(2t)-\cos(12t)\big)\;dt.

Passo 5

Integramos termo a termo. Lembrando que \int \cos(k t)\,dt = \frac{1}{k}\sin(k t) (pois derivada de \sin(k t) é k\cos(k t)):
\int \cos(2t)\,dt = \tfrac{1}{2}\sin(2t),\qquad \int \cos(12t)\,dt = \tfrac{1}{12}\sin(12t).
Portanto a integral definida é
\sqrt{74}\cdot\tfrac{1}{2}\left[\tfrac{1}{2}\sin(2t)-\tfrac{1}{12}\sin(12t)\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}.

Passo 6

Avaliamo os senos nos limites:
  • Em t=\frac{\pi}{4}: \sin(2t)=\sin\big(2\cdot\frac{\pi}{4}\big)=\sin\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1. \sin(12t)=\sin\big(12\cdot\frac{\pi}{4}\big)=\sin(3\pi)=0.
  • Em t=0: \sin(2\cdot 0)=0 e \sin(12\cdot 0)=0.
Então o valor da expressão é
\sqrt{74}\cdot\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}\cdot 1 - \tfrac{1}{12}\cdot 0\right) = \sqrt{74}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2} = \frac{\sqrt{74}}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{74}}{4}

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