Determine as derivadas parciais de ordem superior indicadas.
;
e
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar as derivadas parciais de ordem superior:
,
e
.
Informações relevantes:
- A função é
. - Precisamos calcular derivadas parciais de segunda ordem específicas: primeiro a mista envolvendo
e , depois a mista envolvendo e , e por fim a segunda derivada em relação a duas vezes.
Passo 2
Lembra o que é derivada parcial: para calcular a derivada parcial de
em relação a uma variável (por exemplo
), você trata as outras variáveis (
) como constantes e deriva como se fosse uma função de uma única variável. Em notação:
Vou aplicar essa regra passo a passo, sempre deixando claro quais variáveis são tratadas como constantes.
Passo 3
Calcular
: derivamos
em relação a
tratando
e
como constantes. Como
é um fator constante multiplicando
, a derivada é simplesmente esse fator:
Explicação curta: a derivada de
em relação a
é
, então sobra
.
Passo 4
Calcular
: agora derivamos
em relação a
. Temos
. Ao derivar em relação a
,
é constante, então:
Intuição:
é uma função linear em
com coeficiente
, então a derivada em
é
.
Passo 5
Calcular
: para obter derivadas que começam por
, primeiro calculamos
. Derivando
em relação a
, tratando
e
como constantes, obtemos:
Explicação: análogo ao caso de
, a derivada de
em relação a
é
, sobra
.
Passo 6
Calcular
: agora derivamos
em relação a
. Temos
. Ao derivar em relação a
,
é constante, então:
Intuição:
é linear em
com coeficiente
, então a derivada em
é
.
Passo 7
Calcular
: derivamos
novamente, agora em relação a
. Como
não depende de
, sua derivada em relação a
é zero:
Observação extra (útil na prova): como
é polinomial (suave), as derivadas mistas com ordem trocada coincidiriam, por exemplo
.