Determine as derivadas parciais de ordem superior indicadas.
f(x, y, z)=x y z; f_{x y}, f_{z x} e f_{z z}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=x y z e pede para determinar as derivadas parciais de ordem superior:
f_{x y}, f_{z x} e f_{z z}.
Informações relevantes:
  • A função é f(x,y,z)=x y z.
  • Precisamos calcular derivadas parciais de segunda ordem específicas: primeiro a mista envolvendo x e y, depois a mista envolvendo z e x, e por fim a segunda derivada em relação a z duas vezes.

Passo 2

Lembra o que é derivada parcial: para calcular a derivada parcial de f em relação a uma variável (por exemplo x), você trata as outras variáveis ( y,z) como constantes e deriva como se fosse uma função de uma única variável. Em notação:
f_x=\frac{\partial f}{\partial x},\qquad f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(f_x\big),\qquad f_{zx}=\frac{\partial}{\partial x}\big(f_z\big).
Vou aplicar essa regra passo a passo, sempre deixando claro quais variáveis são tratadas como constantes.

Passo 3

Calcular f_x: derivamos f(x,y,z)=x y z em relação a x tratando y e z como constantes. Como y z é um fator constante multiplicando x, a derivada é simplesmente esse fator:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}(x y z)=y z.
Explicação curta: a derivada de x em relação a x é 1, então sobra y z.

Passo 4

Calcular f_{xy}: agora derivamos f_x em relação a y. Temos f_x=y z. Ao derivar em relação a y, z é constante, então:
f_{x y}=\frac{\partial}{\partial y}(y z)=z.
Intuição: y z é uma função linear em y com coeficiente z, então a derivada em y é z.

Passo 5

Calcular f_z: para obter derivadas que começam por z, primeiro calculamos f_z. Derivando f(x,y,z)=x y z em relação a z, tratando x e y como constantes, obtemos:
f_z=\frac{\partial}{\partial z}(x y z)=x y.
Explicação: análogo ao caso de f_x, a derivada de z em relação a z é 1, sobra x y.

Passo 6

Calcular f_{z x}: agora derivamos f_z em relação a x. Temos f_z=x y. Ao derivar em relação a x, y é constante, então:
f_{z x}=\frac{\partial}{\partial x}(x y)=y.
Intuição: x y é linear em x com coeficiente y, então a derivada em x é y.

Passo 7

Calcular f_{z z}: derivamos f_z=x y novamente, agora em relação a z. Como x y não depende de z, sua derivada em relação a z é zero:
f_{z z}=\frac{\partial}{\partial z}(x y)=0.
Observação extra (útil na prova): como f é polinomial (suave), as derivadas mistas com ordem trocada coincidiriam, por exemplo f_{xy}=f_{yx}=z.

Resposta

f_{x y}=z
f_{z x}=y
f_{z z}=0

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