Em cada item a seguir calcule as integrais de linha.
\int_{C}(x+y) d s, onde C é a circunferência (x-3)^{2}+(y-2)^{2}=25;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}(x+y)\,ds,
onde C é a circunferência dada por
(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=25.
Informações importantes que o enunciado dá:
  • O centro da circunferência é (3,2).
  • O raio da circunferência é 5 (porque 25=5^{2}).
  • A curva C é fechada e é a circunferência completa (presumimos o percurso em sentido positivo, mas para integrais do tipo escalar f\,ds a orientação não altera o resultado).

Passo 2

Vamos lembrar a definição e a fórmula que vamos usar. Para uma função escalar f(x,y) e uma curva parametrizada por
x=x(t),\qquad y=y(t),\qquad t\in[a,b],
a integral de linha em relação ao comprimento de arco é
\int_{C} f(x,y)\,ds = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\sqrt{\bigg(\frac{dx}{dt}\bigg)^{2}+\bigg(\frac{dy}{dt}\bigg)^{2}}\,dt.
Aqui:
  • f(x,y) é a função que vamos integrar (no nosso caso f(x,y)=x+y);
  • ds representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva;
  • o fator \sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2} transforma o dt em comprimento de arco.
Vou aplicar essa fórmula parametrizando a circunferência.

Passo 3

Escolhemos uma parametrização clássica e simples da circunferência de centro (3,2) e raio 5:
x(t)=3+5\cos t,\qquad y(t)=2+5\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Explicando: \cos t e \sin t percorrem a circunferência de raio 1 quando t vai de 0 a 2\pi; multiplicando por 5 temos raio 5; e somando (3,2) deslocamos o centro para (3,2).

Passo 4

Calculamos as derivadas necessárias para o fator de comprimento de arco:
\frac{dx}{dt}=-5\sin t,\qquad \frac{dy}{dt}=5\cos t.
Agora o fator \sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2} é
\sqrt{(-5\sin t)^{2}+(5\cos t)^{2}}=\sqrt{25\sin^{2}t+25\cos^{2}t}=\sqrt{25(\sin^{2}t+\cos^{2}t)}.
Como \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, temos
\sqrt{25}=5.
Portanto ds = 5\,dt.

Passo 5

Substituímos tudo na fórmula da integral:
\int_{C}(x+y)\,ds = \int_{0}^{2\pi} \big(x(t)+y(t)\big)\,5\,dt.
Calculando x(t)+y(t):
x(t)+y(t) = \big(3+5\cos t\big) + \big(2+5\sin t\big) = 5 + 5\cos t + 5\sin t.
Logo a integral fica
\int_{0}^{2\pi} 5\big(5 + 5\cos t + 5\sin t\big)\,dt.
Reorganizando os fatores (para ficar mais limpo, fatoramos quando conveniente):
\int_{0}^{2\pi} 5\big(5 + 5\cos t + 5\sin t\big)\,dt = 5\int_{0}^{2\pi} \big(5 + 5\cos t + 5\sin t\big)\,dt.

Passo 6

Continuando a simplificação: podemos tirar fator 5 dentro do integrando ou fatorar outro 5. Vou escrever de forma direta:
5\int_{0}^{2\pi} \big(5 + 5\cos t + 5\sin t\big)\,dt = 5\cdot 5 \int_{0}^{2\pi} \big(1 + \cos t + \sin t\big)\,dt =25\int_{0}^{2\pi} \big(1 + \cos t + \sin t\big)\,dt.
Agora usamos integrais básicas:
\int_{0}^{2\pi} 1\,dt = 2\pi,
\int_{0}^{2\pi} \cos t\,dt = 0,
\int_{0}^{2\pi} \sin t\,dt = 0,
porque \cos t e \sin t têm média zero em um período completo.
Assim
25\int_{0}^{2\pi} \big(1 + \cos t + \sin t\big)\,dt = 25\big(2\pi + 0 + 0\big) = 50\pi.

Passo 7

Para fixar a intuição e como checagem alternativa: note que, para uma circunferência de centro (a,b) e raio R, parametrizada por x=a+R\cos t, y=b+R\sin t com t\in[0,2\pi], temos
\int_{C} x\,ds = \int_{0}^{2\pi} (a+R\cos t)R\,dt = 2\pi a R,
pois a parte com \cos t integra zero. Analogamente \int_{C} y\,ds = 2\pi b R. Somando,
\int_{C}(x+y)\,ds = 2\pi R(a+b).
No nosso caso a=3, b=2, R=5, então
2\pi\cdot 5\cdot(3+2)=10\pi\cdot 5 =50\pi,
o que confere com o cálculo explícito acima. Essa observação é útil na prova porque economiza tempo: basta conhecer centro e raio.

Resposta

50\pi

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