Em cada item a seguir calcule as integrais de linha.
, onde
é a circunferência
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a circunferência dada por
Informações importantes que o enunciado dá:
- O centro da circunferência é
. - O raio da circunferência é
(porque ). - A curva
é fechada e é a circunferência completa (presumimos o percurso em sentido positivo, mas para integrais do tipo escalar a orientação não altera o resultado).
Passo 2
Vamos lembrar a definição e a fórmula que vamos usar. Para uma função escalar
e uma curva parametrizada por
a integral de linha em relação ao comprimento de arco é
Aqui:
-
é a função que vamos integrar (no nosso caso ); -
representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva; - o fator
transforma o em comprimento de arco.
Vou aplicar essa fórmula parametrizando a circunferência.
Passo 3
Escolhemos uma parametrização clássica e simples da circunferência de centro
e raio
:
Explicando:
e
percorrem a circunferência de raio
quando
vai de
a
; multiplicando por
temos raio
; e somando
deslocamos o centro para
.
Passo 4
Calculamos as derivadas necessárias para o fator de comprimento de arco:
Agora o fator
é
Como
, temos
Portanto
.
Passo 5
Substituímos tudo na fórmula da integral:
Calculando
:
Logo a integral fica
Reorganizando os fatores (para ficar mais limpo, fatoramos quando conveniente):
Passo 6
Continuando a simplificação: podemos tirar fator
dentro do integrando ou fatorar outro
. Vou escrever de forma direta:
Agora usamos integrais básicas:
porque
e
têm média zero em um período completo.
Assim
Passo 7
Para fixar a intuição e como checagem alternativa: note que, para uma circunferência de centro
e raio
, parametrizada por
,
com
, temos
pois a parte com
integra zero. Analogamente
. Somando,
No nosso caso
,
,
, então
o que confere com o cálculo explícito acima. Essa observação é útil na prova porque economiza tempo: basta conhecer centro e raio.