Nos exercícios 15 a 21 resolva as equações, usando o método dos coeficentes indeterminados.
16 y^{(4)}-y=e^{x / 2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
16\,y^{(4)}-y=e^{x/2}.
Informações relevantes fornecidas:
\;y^{(4)} é a quarta derivada de y em relação a x.
O termo do lado direito é \;e^{x/2}.
A equação é linear de coeficientes constantes e não homogênea.
A tarefa é encontrar a solução geral y(x) (solução da homogênea mais uma particular).

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
16\,y^{(4)}-y=0.
Para isso fazemos a substituição padrão y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
16\,r^{4}-1=0.
Resolvendo,
r^{4}=\frac{1}{16}=\left(\frac{1}{2}\right)^{4},
portanto as raízes são as quatro raízes quartas de \left(\frac{1}{2}\right)^{4}, isto é
r=\frac{1}{2},\; r=-\frac{1}{2},\; r=\frac{i}{2},\; r=-\frac{i}{2}.
Como as raízes são simples, a solução geral da homogênea é combinação linear das exponenciais associadas. Escrevendo as partes complexas em termos reais (usando e^{i\theta} -> \cos\theta e \sin\theta), obtemos
y_{h}(x)=C_{1}e^{x/2}+C_{2}e^{-x/2}+C_{3}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)+C_{4}\sin\!\left(\frac{x}{2}\right),
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Escolher um palpite (ansatz) para a solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados.
Explicando a ideia: quando o termo não homogêneo é da forma e^{\alpha x}, um palpite natural é y_{p}=A e^{\alpha x} com constante A. Contudo, se e^{\alpha x} já é solução da homogênea (ou seja, \alpha é raiz da equação característica), temos ressonância e precisamos multiplicar o palpite por x^{m}, onde m é a multiplicidade dessa raiz na característica.
No nosso caso o lado direito é \;e^{x/2}. Observando as raízes da característica do Passo 2, r=\tfrac{1}{2} é uma raiz simples (multiplicidade m=1), logo há ressonância de ordem 1. Portanto devemos multiplicar por x o palpite usual. Tomamos então
y_{p}(x)=A x e^{x/2},
com A a constante a determinar.

Passo 4

Calcular as derivadas de y_{p} até a quarta para substituir na equação. Para agilizar, use uma fórmula geral para y=A x e^{k x} com k=\tfrac{1}{2}.
Seja k=\tfrac{1}{2}. Para y=A x e^{k x} vale a sequência (pode-se verificar por indução ou diferenciando passo a passo):
y^{(n)}=A e^{k x}\big(n k^{\,n-1}+k^{\,n}x\big).
Verificamos rapidamente os primeiros para ter confiança:
  • y'=A e^{k x}(1+kx) corresponde a n=1.
  • y''=A e^{k x}(2k+k^{2}x) corresponde a n=2.
  • e assim por diante.
Aplicando para n=4 com k=\tfrac{1}{2}:
y^{(4)}=A e^{kx}\big(4k^{3}+k^{4}x\big).
Agora substituímos k=\tfrac{1}{2}. Calculamos potências:
k=\tfrac{1}{2},\quad k^{2}=\tfrac{1}{4},\quad k^{3}=\tfrac{1}{8},\quad k^{4}=\tfrac{1}{16}.
Então
4k^{3}=4\cdot\tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{2},\qquad k^{4}x=\tfrac{1}{16}x.
Portanto
y^{(4)}=A e^{x/2}\!\left(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{16}x\right).

Passo 5

Substituir y_{p} e y^{(4)} na equação original para determinar A.
A equação é \;16\,y^{(4)}-y=e^{x/2}. Substituindo,
16\cdot\bigg[A e^{x/2}\!\left(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{16}x\right)\bigg]-A x e^{x/2}=e^{x/2}.
Fatorando A e^{x/2}:
A e^{x/2}\Big(16\cdot\tfrac{1}{2}+16\cdot\tfrac{1}{16}x - x\Big)=e^{x/2}.
Calcule os coeficientes:
16\cdot\tfrac{1}{2}=8,\qquad 16\cdot\tfrac{1}{16}x=x.
Logo o termo entre parênteses é 8 + x - x = 8. Assim sobra
A e^{x/2}\cdot 8 = e^{x/2}.
Cancelando e^{x/2} (não é nulo), obtemos
8A=1\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{8}.

Passo 6

Escrever a solução geral somando a homogênea com a particular encontrada.
Temos y_{p}(x)=\dfrac{1}{8}x e^{x/2} e y_{h}(x) do Passo 2. Portanto a solução geral é
y(x)=C_{1}e^{x/2}+C_{2}e^{-x/2}+C_{3}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)+C_{4}\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{8}x e^{x/2},
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x/2}+C_{2}e^{-x/2}+C_{3}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)+C_{4}\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{8}x e^{x/2}

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