Nos exercícios 15 a 21 resolva as equações, usando o método dos coeficentes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações relevantes fornecidas:
é a quarta derivada de
em relação a
.
O termo do lado direito é .
A equação é linear de coeficientes constantes e não homogênea.
A tarefa é encontrar a solução geral (solução da homogênea mais uma particular).
O termo do lado direito é
A equação é linear de coeficientes constantes e não homogênea.
A tarefa é encontrar a solução geral
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Para isso fazemos a substituição padrão
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolvendo,
portanto as raízes são as quatro raízes quartas de
, isto é
Como as raízes são simples, a solução geral da homogênea é combinação linear das exponenciais associadas. Escrevendo as partes complexas em termos reais (usando
->
e
), obtemos
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Escolher um palpite (ansatz) para a solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados.
Explicando a ideia: quando o termo não homogêneo é da forma
, um palpite natural é
com constante
. Contudo, se
já é solução da homogênea (ou seja,
é raiz da equação característica), temos ressonância e precisamos multiplicar o palpite por
, onde
é a multiplicidade dessa raiz na característica.
No nosso caso o lado direito é
. Observando as raízes da característica do Passo 2,
é uma raiz simples (multiplicidade
), logo há ressonância de ordem 1. Portanto devemos multiplicar por
o palpite usual. Tomamos então
com
a constante a determinar.
Passo 4
Calcular as derivadas de
até a quarta para substituir na equação. Para agilizar, use uma fórmula geral para
com
.
Seja
. Para
vale a sequência (pode-se verificar por indução ou diferenciando passo a passo):
Verificamos rapidamente os primeiros para ter confiança:
-
corresponde a . -
corresponde a . - e assim por diante.
Aplicando para
com
:
Agora substituímos
. Calculamos potências:
Então
Portanto
Passo 5
Substituir
e
na equação original para determinar
.
A equação é
. Substituindo,
Fatorando
:
Calcule os coeficientes:
Logo o termo entre parênteses é
. Assim sobra
Cancelando
(não é nulo), obtemos
Passo 6
Escrever a solução geral somando a homogênea com a particular encontrada.
Temos
e
do Passo 2. Portanto a solução geral é
onde
são constantes arbitrárias.