Para cada item a seguir, calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
para o campo vetorial dado. As informações que temos são:
Ou seja, os componentes do campo são:
A tarefa é encontrar o rotacional desse campo vetorial em função de
.
Passo 2
Vou usar a definição do rotacional em coordenadas cartesianas. A fórmula que calcula o rotacional de um campo
é
Explicando devagar:
é o operador gradiente; o símbolo
indica o produto vetorial entre
e
. Cada componente do rotacional é a diferença entre duas derivadas parciais parcimoniosamente escolhidas (veja a fórmula). As derivadas parciais significam derivar em relação a uma variável mantendo as outras fixas.
Passo 3
Precisamos, portanto, calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula. Vou listar cada uma e calcular:
-
. Como não depende de , temos
-
. Como não depende de , temos
-
. Como não depende de , temos
-
. Como não depende de , temos
-
. Como , a derivada de em relação a é , logo
-
. Como , a derivada em relação a é , portanto
Passo 4
Agora substituímos essas derivadas na fórmula do rotacional componente a componente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Passo 5
Juntando as três componentes obtidas, o rotacional é o vetor cujas componentes são as calculadas. Interpretando: as duas primeiras componentes são zero porque os termos relevantes não dependem das variáveis exigidas; a componente na direção
mistura a variação de
em
com a variação de
em
, resultando em
.