Para cada item a seguir, calcule \operatorname{rot} \vec{F}.
\vec{F}(x, y, z)=-y \vec{i}+\cos x \vec{j}+z \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \operatorname{rot}\vec{F} para o campo vetorial dado. As informações que temos são:
\vec{F}(x,y,z) = -y\,\vec{i} + \cos x\,\vec{j} + z\,\vec{k}.
Ou seja, os componentes do campo são:
F_1(x,y,z) = -y,\qquad F_2(x,y,z) = \cos x,\qquad F_3(x,y,z) = z.
A tarefa é encontrar o rotacional desse campo vetorial em função de x,y,z.

Passo 2

Vou usar a definição do rotacional em coordenadas cartesianas. A fórmula que calcula o rotacional de um campo \vec{F}=(F_1,F_2,F_3) é
\operatorname{rot}\vec{F}=\nabla\times\vec{F} =\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\right)\vec{i} +\left(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\right)\vec{j} +\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\vec{k}.
Explicando devagar: \nabla é o operador gradiente; o símbolo \times indica o produto vetorial entre \nabla e \vec{F}. Cada componente do rotacional é a diferença entre duas derivadas parciais parcimoniosamente escolhidas (veja a fórmula). As derivadas parciais significam derivar em relação a uma variável mantendo as outras fixas.

Passo 3

Precisamos, portanto, calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula. Vou listar cada uma e calcular:
  • \dfrac{\partial F_3}{\partial y}. Como F_3(x,y,z)=z não depende de y, temos
\frac{\partial F_3}{\partial y}=0.
  • \dfrac{\partial F_2}{\partial z}. Como F_2(x,y,z)=\cos x não depende de z, temos
\frac{\partial F_2}{\partial z}=0.
  • \dfrac{\partial F_1}{\partial z}. Como F_1(x,y,z)=-y não depende de z, temos
\frac{\partial F_1}{\partial z}=0.
  • \dfrac{\partial F_3}{\partial x}. Como F_3(x,y,z)=z não depende de x, temos
\frac{\partial F_3}{\partial x}=0.
  • \dfrac{\partial F_2}{\partial x}. Como F_2(x,y,z)=\cos x, a derivada de \cos x em relação a x é -\sin x, logo
\frac{\partial F_2}{\partial x}=-\sin x.
  • \dfrac{\partial F_1}{\partial y}. Como F_1(x,y,z)=-y, a derivada em relação a y é -1, portanto
\frac{\partial F_1}{\partial y}=-1.

Passo 4

Agora substituímos essas derivadas na fórmula do rotacional componente a componente:
  • Componente \vec{i}:
\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}=0-0=0.
  • Componente \vec{j}:
\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}=0-0=0.
  • Componente \vec{k}:
\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}=(-\sin x)-(-1)=-\sin x+1=1-\sin x.

Passo 5

Juntando as três componentes obtidas, o rotacional é o vetor cujas componentes são as calculadas. Interpretando: as duas primeiras componentes são zero porque os termos relevantes não dependem das variáveis exigidas; a componente na direção \vec{k} mistura a variação de \cos x em x com a variação de -y em y, resultando em 1-\sin x.

Resposta

\operatorname{rot}\vec{F} = 0\,\vec{i} + 0\,\vec{j} + (1-\sin x)\,\vec{k}

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