Sejam
a reta dada por
, com
e
o plano de equação
, sendo
e
constantes. Determine, se possível, todos os valores de
e
para que
e
sejam como se pede em cada item. Caso contrário, só justifique.
(e) A reta
é paralela ao plano
e não está contida em
.
(e) A reta
Passo 1
O enunciado dá a reta
e o plano
e pede que encontremos todos os valores de
e
para que
seja paralela a
e, além disso, não esteja contida em
. Dados fornecidos:
com
constantes. O que nos pedem: determinar todos os pares
tais que (i)
é paralelo a
e (ii)
não está contida em
.
Passo 2
Entendendo o que significa “reta paralela ao plano”: o plano
tem vetor normal formado pelos coeficientes da equação, isto é
A reta
tem vetor diretor dado pelo vetor que multiplica
:
Fato útil e frequentemente usado: uma reta é paralela a um plano quando o vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor normal do plano. A ortogonalidade entre dois vetores
e
é expressa pelo produto escalar (dot product)
. O produto escalar de
e
é calculado assim:
Para que
seja paralelo a
precisamos de
Passo 3
Calculemos explicitamente a condição
:
Rearranjando,
Isto dá uma relação linear entre
e
. Podemos isolar
em função de
:
Portanto, para qualquer
que satisfaça essa relação, a reta
será paralela ao plano
.
Passo 4
Agora precisamos garantir que
não esteja contida em
. Uma reta fica contida em um plano quando duas condições ocorrem juntas: (a) o vetor diretor da reta é paralelo ao plano (já garantido pela condição do produto escalar) e (b) pelo menos um ponto da reta pertence ao plano — na prática basta verificar um ponto da reta (por exemplo o ponto inicial dado) satisfaz a equação do plano; se esse ponto satisfizer e a direção é paralela, então todos os pontos da reta satisfazem e a reta está contida no plano.
Pegamos o ponto inicial da reta
, que é
, e substituímos na equação do plano. Substituição (peguei o ponto do enunciado):
Para que esse ponto pertença a
precisamos ter
ou seja
Passo 5
Concluímos: a reta
Dentro desse conjunto de pares
, a reta
estará contida em
exatamente quando, além da relação acima, também se tiver
Vamos ver se existe interseção dessas duas equações — isso nos dará o(s) par(es) que devemos excluir para garantir que a reta não esteja contida. Resolvendo o sistema
multiplicamos a segunda por (3] e subtraímos:
Com
, da equação
vem
então
. Logo o único par que satisfaz ambas as equações é
. Esse par corresponde ao caso em que a reta está contida no plano.]
Passo 6
Portanto, todos os pares
que tornam
paralelo a
são os que satisfazem
. Destes, devemos excluir o par
para garantir que a reta não esteja contida. Em linguagem explícita, a solução é: