Sejam r a reta dada por (x, y, z)=(-2,1,4)+t(5,-3,5), com t \in \mathbb{R} e \Pi o plano de equação 2 x+\alpha y+\beta z=5, sendo \alpha e \beta constantes. Determine, se possível, todos os valores de \alpha e \beta para que r e \Pi sejam como se pede em cada item. Caso contrário, só justifique.
(e) A reta r é paralela ao plano \Pi e não está contida em \Pi.

Passo 1

O enunciado dá a reta r e o plano \Pi e pede que encontremos todos os valores de \alpha e \beta para que r seja paralela a \Pi e, além disso, não esteja contida em \Pi. Dados fornecidos:
r:\\ (x,y,z)=(-2,1,4)+t(5,-3,5),\quad t\in\mathbb{R},
\Pi:\\\ 2x+\alpha y+\beta z=5,
com \alpha,\beta constantes. O que nos pedem: determinar todos os pares (\alpha,\beta) tais que (i) r é paralelo a \Pi e (ii) r não está contida em \Pi.

Passo 2

Entendendo o que significa “reta paralela ao plano”: o plano \Pi tem vetor normal formado pelos coeficientes da equação, isto é
\mathbf{n}=(2,\alpha,\beta).
A reta r tem vetor diretor dado pelo vetor que multiplica t:
\mathbf{d}=(5,-3,5).
Fato útil e frequentemente usado: uma reta é paralela a um plano quando o vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor normal do plano. A ortogonalidade entre dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} é expressa pelo produto escalar (dot product) \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0. O produto escalar de \mathbf{d} e \mathbf{n} é calculado assim:
\mathbf{d}\cdot\mathbf{n}=5\cdot 2 + (-3)\cdot \alpha + 5\cdot \beta.
Para que r seja paralelo a \Pi precisamos de
\mathbf{d}\cdot\mathbf{n}=0.

Passo 3

Calculemos explicitamente a condição \mathbf{d}\cdot\mathbf{n}=0:
5\cdot 2 + (-3)\cdot \alpha + 5\cdot \beta =0
10 - 3\alpha + 5\beta = 0.
Rearranjando,
3\alpha - 5\beta = 10.
Isto dá uma relação linear entre \alpha e \beta. Podemos isolar \alpha em função de \beta:
\alpha=\frac{10+5\beta}{3}.
Portanto, para qualquer \beta\in\mathbb{R} que satisfaça essa relação, a reta r será paralela ao plano \Pi.

Passo 4

Agora precisamos garantir que r não esteja contida em \Pi. Uma reta fica contida em um plano quando duas condições ocorrem juntas: (a) o vetor diretor da reta é paralelo ao plano (já garantido pela condição do produto escalar) e (b) pelo menos um ponto da reta pertence ao plano — na prática basta verificar um ponto da reta (por exemplo o ponto inicial dado) satisfaz a equação do plano; se esse ponto satisfizer e a direção é paralela, então todos os pontos da reta satisfazem e a reta está contida no plano.
Pegamos o ponto inicial da reta r, que é (-2,1,4), e substituímos na equação do plano. Substituição (peguei o ponto do enunciado):
2(-2)+\alpha\cdot 1+\beta\cdot 4 = -4 + \alpha + 4\beta.
Para que esse ponto pertença a \Pi precisamos ter
-4+\alpha+4\beta = 5,
ou seja
\alpha + 4\beta = 9.

Passo 5

Concluímos: a reta r\) será paralela ao plano \(\Pi\) sempre que \[3\alpha - 5\beta = 10.
Dentro desse conjunto de pares (\alpha,\beta), a reta r estará contida em \Pi exatamente quando, além da relação acima, também se tiver
\alpha + 4\beta = 9.
Vamos ver se existe interseção dessas duas equações — isso nos dará o(s) par(es) que devemos excluir para garantir que a reta não esteja contida. Resolvendo o sistema
\begin{cases} 3\alpha - 5\beta = 10,\\[4pt] \alpha + 4\beta = 9, \end{cases}
multiplicamos a segunda por (3] e subtraímos:
3\alpha + 12\beta = 27,
(3\alpha + 12\beta) - (3\alpha - 5\beta) = 27 - 10,
17\beta = 17 \implies \beta = 1.
Com \beta=1, da equação \alpha+4\beta=9 vem \alpha+4=9 então \alpha=5. Logo o único par que satisfaz ambas as equações é (\alpha,\beta)=(5,1). Esse par corresponde ao caso em que a reta está contida no plano.]

Passo 6

Portanto, todos os pares (\alpha,\beta) que tornam r paralelo a \Pi são os que satisfazem 3\alpha-5\beta=10. Destes, devemos excluir o par (5,1) para garantir que a reta não esteja contida. Em linguagem explícita, a solução é:
\{(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2 \mid 3\alpha-5\beta=10\}\setminus\{(5,1)\}.

Resposta

\{(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2 \mid 3\alpha-5\beta=10\}\setminus\{(5,1)\}

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