Questão 2

Seja \alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a função vetorial dada por \alpha(t)=\left(t^{3}-t+2, t^{2}-2 t^{3}, 3 t^{4}-1\right). Denote por \mathcal{C} a curva em \mathbb{R}^{3} que é a imagem de \alpha (ou traço de \alpha ).
(a) Determine as coordenadas de um vetor tangente à curva \mathcal{C} no ponto \alpha(-3).
(b) Determine uma equação para a reta tangente à curva \mathcal{C} no ponto A=(122,-225,1874).

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial \alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 definida por
\alpha(t)=\bigl(t^{3}-t+2,\; t^{2}-2t^{3},\; 3t^{4}-1\bigr).
Denota-se por \mathcal{C} a curva imagem de \alpha.
O que é pedido:
(a) Determinar as coordenadas de um vetor tangente à curva \mathcal{C} no ponto \alpha(-3).
(b) Determinar uma equação para a reta tangente à curva \mathcal{C} no ponto A=(122,-225,1874).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\alpha(t) está dada componente a componente; o ponto da parte (a) é o ponto da curva correspondente ao parâmetro t=-3; o ponto A é fornecido explicitamente (presume-se que esteja na curva). Não se resolveu nada ainda — apenas listamos os dados e o que se pede.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): o vetor tangente a uma curva dada por uma função vetorial \alpha(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) é dado pela derivada \alpha'(t)=\bigl(x'(t),y'(t),z'(t)\bigr).
Regra usada (regra do ponto): derivamos componente a componente.
Regra de derivação usada (aula rápida): para potências de t vale a regra do poder: a derivada de t^{n} é n t^{n-1}. A derivada de uma soma é a soma das derivadas e constantes têm derivada zero. Vamos aplicar isso componente a componente.

Passo 3

Calcular a derivada \alpha'(t) componente a componente, mostrando todos os passos:
  • Para a primeira componente x(t)=t^{3}-t+2: aplicar a regra do poder e a linearidade:
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)-\frac{d}{dt}\bigl(t\bigr)+\frac{d}{dt}(2)=3t^{2}-1+0=3t^{2}-1.
  • Para a segunda componente y(t)=t^{2}-2t^{3}:
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)-2\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)=2t-2\cdot 3t^{2}=2t-6t^{2}.
  • Para a terceira componente z(t)=3t^{4}-1:
z'(t)=3\frac{d}{dt}\bigl(t^{4}\bigr)-\frac{d}{dt}(1)=3\cdot 4t^{3}-0=12t^{3}.
Portanto a derivada vetorial é
\alpha'(t)=\bigl(3t^{2}-1,\;2t-6t^{2},\;12t^{3}\bigr).

Passo 4

Resolver a parte (a): vetor tangente em t=-3.
Substituímos t=-3 nas componentes de \alpha'(t) e fazemos as contas passo a passo:
  • Primeira componente:
3(-3)^{2}-1=3\cdot 9-1=27-1=26.
  • Segunda componente:
2(-3)-6(-3)^{2}=-6-6\cdot 9=-6-54=-60.
  • Terceira componente:
12(-3)^{3}=12\cdot(-27)=-324.
Logo um vetor tangente em \alpha(-3) é
\bigl(26,\,-60,\,-324\bigr).
Observação didática: qualquer múltiplo não nulo deste vetor também é um vetor tangente (por exemplo (13,-30,-162) que é \tfrac12 do vetor acima); a direção é o que importa.

Passo 5

Resolver a parte (b): primeiro precisamos achar o parâmetro t tal que \alpha(t)=A=(122,-225,1874). Uma maneira prática (quando as componentes são polinomiais com coeficientes inteiros) é testar possíveis raízes inteiras na equação da primeira componente.
Da primeira componente temos a equação
t^{3}-t+2=122 \quad\Longleftrightarrow\quad t^{3}-t-120=0.
Testando t=5:
5^{3}-5-120=125-5-120=0,
portanto t=5 é solução. (Podemos checar que para t=5 as outras duas componentes batem com A: t^{2}-2t^{3}=25-250=-225 e 3t^{4}-1=3\cdot625-1=1875-1=1874, então de fato A=\alpha(5).)

Passo 6

Agora calculamos o vetor tangente em t=5 usando \alpha'(t) obtida no Passo 3. Substituímos t=5 e calculamos cada componente:
  • Primeira componente:
3\cdot 5^{2}-1=3\cdot 25-1=75-1=74.
  • Segunda componente:
2\cdot 5-6\cdot 5^{2}=10-6\cdot 25=10-150=-140.
  • Terceira componente:
12\cdot 5^{3}=12\cdot 125=1500.
Logo um vetor diretor da reta tangente em A é
\bigl(74,\,-140,\;1500\bigr).
Podemos simplificá-lo por 2 para obter o vetor equivalente \bigl(37,-70,750\bigr) (direção inalterada).

Passo 7

Formas da equação da reta tangente: para uma reta que passa por um ponto P=(x_0,y_0,z_0) com vetor diretor v=(v_x,v_y,v_z), a forma paramétrica é
\ell(s)=\bigl(x_0,y_0,z_0\bigr)+s\bigl(v_x,v_y,v_z\bigr),
ou componente a componente
x=x_0+v_x s,\qquad y=y_0+v_y s,\qquad z=z_0+v_z s.
A forma simétrica (quando as componentes do vetor diretor são não nulas) é
\frac{x-x_0}{v_x}=\frac{y-y_0}{v_y}=\frac{z-z_0}{v_z}.
Aplicando com P=A=(122,-225,1874) e vetor diretor v=(37,-70,750) (vetor simplificado), obtemos as equações da reta tangente pedida.

Resposta

(a) \bigl(26,\,-60,\,-324\bigr)
(b) parametricamente: \bigl(x,y,z\bigr)=(122,-225,1874)+s(37,-70,750) \longleftrightarrow x=122+37s,\;y=-225-70s,\;z=1874+750s

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