Questão 2
Seja
a função vetorial dada por
. Denote por
a curva em
que é a imagem de
(ou traço de
).
(a) Determine as coordenadas de um vetor tangente à curva
no ponto
.
(b) Determine uma equação para a reta tangente à curva
no ponto
.
(a) Determine as coordenadas de um vetor tangente à curva
(b) Determine uma equação para a reta tangente à curva
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
definida por
Denota-se por
a curva imagem de
.
O que é pedido:
(a) Determinar as coordenadas de um vetor tangente à curva no ponto
.
(b) Determinar uma equação para a reta tangente à curva no ponto
.
(a) Determinar as coordenadas de um vetor tangente à curva
(b) Determinar uma equação para a reta tangente à curva
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
está dada componente a componente; o ponto da parte (a) é o ponto da curva correspondente ao parâmetro
; o ponto
é fornecido explicitamente (presume-se que esteja na curva). Não se resolveu nada ainda — apenas listamos os dados e o que se pede.
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): o vetor tangente a uma curva dada por uma função vetorial
é dado pela derivada
.
Regra usada (regra do ponto): derivamos componente a componente.
Regra usada (regra do ponto): derivamos componente a componente.
Regra de derivação usada (aula rápida): para potências de
vale a regra do poder: a derivada de
é
. A derivada de uma soma é a soma das derivadas e constantes têm derivada zero. Vamos aplicar isso componente a componente.
Passo 3
Calcular a derivada
componente a componente, mostrando todos os passos:
- Para a primeira componente
: aplicar a regra do poder e a linearidade:
- Para a segunda componente
:
- Para a terceira componente
:
Portanto a derivada vetorial é
Passo 4
Resolver a parte (a): vetor tangente em
.
Substituímos
nas componentes de
e fazemos as contas passo a passo:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Logo um vetor tangente em
é
Observação didática: qualquer múltiplo não nulo deste vetor também é um vetor tangente (por exemplo
que é
do vetor acima); a direção é o que importa.
Passo 5
Resolver a parte (b): primeiro precisamos achar o parâmetro
tal que
. Uma maneira prática (quando as componentes são polinomiais com coeficientes inteiros) é testar possíveis raízes inteiras na equação da primeira componente.
Da primeira componente temos a equação
Testando
:
portanto
é solução. (Podemos checar que para
as outras duas componentes batem com
:
e
, então de fato
.)
Passo 6
Agora calculamos o vetor tangente em
usando
obtida no Passo 3. Substituímos
e calculamos cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Logo um vetor diretor da reta tangente em
é
Podemos simplificá-lo por
para obter o vetor equivalente
(direção inalterada).
Passo 7
Formas da equação da reta tangente: para uma reta que passa por um ponto
com vetor diretor
, a forma paramétrica é
ou componente a componente
A forma simétrica (quando as componentes do vetor diretor são não nulas) é
Aplicando com
e vetor diretor
(vetor simplificado), obtemos as equações da reta tangente pedida.
Resposta
(a)
(b) parametricamente: