Para cada item a seguir, calcule
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule
para o campo vetorial dado.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
Não há componente em
explícita, logo a componente na direção
é
.
Passo 2
O que significa calcular
: é calcular um novo campo vetorial formado por combinações de derivadas parciais das componentes de
. Uma forma prática de recordar a fórmula é através dos componentes:
Aqui
são, respectivamente, as componentes de
nas direções
. A notação
indica derivada parcial: derivamos a expressão tratando as outras variáveis como constantes.
Passo 3
Identifico as componentes do campo:
Expliquei:
é a componente em
,
em
e
em
.
Passo 4
Calculo a primeira componente do rot (direção
):
Como
, temos
. Como
não depende de
, temos
. Portanto a primeira componente é
Passo 5
Calculo a segunda componente do rot (direção
):
Temos
porque ao derivar em relação a
tratamos
e
como constantes. E
pois
. Logo a segunda componente é
Passo 6
Calculo a terceira componente do rot (direção
):
Temos
. Também
porque ao derivar em relação a
multiplicamos
e
(que são tratados como constantes) por
. Portanto a terceira componente é
Passo 7
Agora monto o vetor rot com as três componentes calculadas:
Explicando de forma intuitiva: a componente em
saiu zero porque não há variação cruzada relevante entre as componentes dadas; as outras duas refletem como
e
mudam em relação às variáveis diferentes.