Para cada item a seguir, calcule \operatorname{rot} \vec{F}.
\vec{F}(x, y, z)=z x y \vec{i}+x^{2} \vec{j}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule \operatorname{rot}\vec{F} para o campo vetorial dado.
Informações fornecidas:
\vec{F}(x,y,z)=zxy\,\vec{i}+x^{2}\,\vec{j}.
Não há componente em \vec{k} explícita, logo a componente na direção z é 0.

Passo 2

O que significa calcular \operatorname{rot}\vec{F}: é calcular um novo campo vetorial formado por combinações de derivadas parciais das componentes de \vec{F}. Uma forma prática de recordar a fórmula é através dos componentes:
\operatorname{rot}\vec{F}= \left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z}\right)\vec{i} +\left(\frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x}\right)\vec{j} +\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right)\vec{k}.
Aqui F_{1},F_{2},F_{3} são, respectivamente, as componentes de \vec{F} nas direções \vec{i},\vec{j},\vec{k}. A notação \partial/\partial x indica derivada parcial: derivamos a expressão tratando as outras variáveis como constantes.

Passo 3

Identifico as componentes do campo:
F_{1}(x,y,z)=zxy,\qquad F_{2}(x,y,z)=x^{2},\qquad F_{3}(x,y,z)=0.
Expliquei: F_{1} é a componente em \vec{i}, F_{2} em \vec{j} e F_{3} em \vec{k}.

Passo 4

Calculo a primeira componente do rot (direção \vec{i}):
\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z}.
Como F_{3}=0, temos \displaystyle \frac{\partial F_{3}}{\partial y}=0. Como F_{2}=x^{2} não depende de z, temos \displaystyle \frac{\partial F_{2}}{\partial z}=0. Portanto a primeira componente é
0-0=0.

Passo 5

Calculo a segunda componente do rot (direção \vec{j}):
\frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x}.
Temos \displaystyle \frac{\partial F_{1}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(zxy)=xy porque ao derivar em relação a z tratamos x e y como constantes. E \displaystyle \frac{\partial F_{3}}{\partial x}=0 pois F_{3}=0. Logo a segunda componente é
xy-0=xy.

Passo 6

Calculo a terceira componente do rot (direção \vec{k}):
\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}.
Temos \displaystyle \frac{\partial F_{2}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x. Também
\displaystyle \frac{\partial F_{1}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(zxy)=zx porque ao derivar em relação a y multiplicamos z e x (que são tratados como constantes) por 1. Portanto a terceira componente é
2x - zx = x(2-z).

Passo 7

Agora monto o vetor rot com as três componentes calculadas:
\operatorname{rot}\vec{F}=0\,\vec{i}+xy\,\vec{j}+x(2-z)\,\vec{k}.
Explicando de forma intuitiva: a componente em \vec{i} saiu zero porque não há variação cruzada relevante entre as componentes dadas; as outras duas refletem como F_{1} e F_{2} mudam em relação às variáveis diferentes.

Resposta

\operatorname{rot}\vec{F}=0\,\vec{i}+xy\,\vec{j}+x(2-z)\,\vec{k}

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