Para cada item a seguir, calcule rot overrightarrow{\mathbf{F}}.
\vec{F}(x, y, z)=-x \vec{i}+y \vec{j}-x z \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotor (curl) do campo vetorial
\vec{F}(x,y,z) = -x\,\vec{i} + y\,\vec{j} - xz\,\vec{k}.
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais e aplicação da definição de \nabla \times \vec{F}.

Passo 2

Vamos usar a fórmula componente a componente:
\nabla \times \vec{F} = \Bigl(\frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z}\Bigr)\vec{i} - \Bigl(\frac{\partial F_{z}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial z}\Bigr)\vec{j} + \Bigl(\frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y}\Bigr)\vec{k}.

Passo 3

Identificamos as componentes de \vec{F}:
F_{x} = -x,\quad F_{y} = y,\quad F_{z} = -xz.
Agora calculamos a componente em \vec{i}:
\frac{\partial F_{z}}{\partial y} = \frac{\partial (-xz)}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial F_{y}}{\partial z} = \frac{\partial (y)}{\partial z} = 0,
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(\nabla \times \vec{F})_{x} = 0 - 0 = 0.

Passo 4

Calculamos a componente em \vec{j}:
\frac{\partial F_{z}}{\partial x} = \frac{\partial (-xz)}{\partial x} = -\,z, \quad \frac{\partial F_{x}}{\partial z} = \frac{\partial (-x)}{\partial z} = 0,
portanto
(\nabla \times \vec{F})_{y} = -\bigl(-z - 0\bigr) = z.

Passo 5

Calculamos a componente em \vec{k}:
\frac{\partial F_{y}}{\partial x} = \frac{\partial (y)}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial F_{x}}{\partial y} = \frac{\partial (-x)}{\partial y} = 0,
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(\nabla \times \vec{F})_{z} = 0 - 0 = 0.

Passo 6

Reunindo as três componentes, temos
\nabla \times \vec{F} = 0\,\vec{i} + z\,\vec{j} + 0\,\vec{k} = z\,\vec{j}.

Resposta

\nabla \times \vec{F} = z\,\vec{j}

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