Para cada item a seguir, calcule rot overrightarrow{\mathbf{F}}.
\vec{F}(x, y, z)=-y z \vec{i}+z^{2} e^{x} \vec{j}+z \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional (ou curl) do campo vetorial \vec{F}(x,y,z) = -yz\,\vec{i} + z^{2}e^{x}\,\vec{j} + z\,\vec{k}.
O conteúdo aqui é cálculo de rotacional em \mathbb{R}^3, que usamos a definição
\nabla \times \vec{F} = \bigl(\partial_{y}F_{k} - \partial_{z}F_{j}\bigr)\,\vec{i} - \bigl(\partial_{x}F_{k} - \partial_{z}F_{i}\bigr)\,\vec{j} + \bigl(\partial_{x}F_{j} - \partial_{y}F_{i}\bigr)\,\vec{k}.

Passo 2

Identificamos as componentes de \vec{F}:
F_{i} = -yz,\quad F_{j} = z^{2}e^{x},\quad F_{k} = z.
Agora aplicamos a fórmula para cada componente do rotacional.

Passo 3

Componente na direção \vec{i}:
\partial_{y}F_{k} = \partial_{y}(z) = 0,\qquad \partial_{z}F_{j} = \partial_{z}\bigl(z^{2}e^{x}\bigr) = 2z\,e^{x},
logo
(\nabla\times\vec{F})_{i} = 0 - 2z\,e^{x} = -2z\,e^{x}.

Passo 4

Componente na direção \vec{j}:
\partial_{x}F_{k} = \partial_{x}(z) = 0,\qquad \partial_{z}F_{i} = \partial_{z}(-yz) = -y,
logo
(\nabla\times\vec{F})_{j} = -\bigl(0 - (-y)\bigr) = -\,y.

Passo 5

Componente na direção \vec{k}:
\partial_{x}F_{j} = \partial_{x}\bigl(z^{2}e^{x}\bigr) = z^{2}e^{x},\qquad \partial_{y}F_{i} = \partial_{y}(-yz) = -z,
logo
(\nabla\times\vec{F})_{k} = z^{2}e^{x} - (-z) = z^{2}e^{x} + z.

Passo 6

Reunindo as três componentes, obtemos
\nabla\times\vec{F} = -2z\,e^{x}\,\vec{i} \;-\; y\,\vec{j} \;+\; (z^{2}e^{x}+z)\,\vec{k}.

Resposta

\boxed{\nabla\times\vec{F} = -2z\,e^{x}\,\vec{i} \;-\; y\,\vec{j} \;+\; \bigl(z^{2}e^{x}+z\bigr)\,\vec{k}}.

Exercícios relacionados