Para cada item a seguir, calcule rot overrightarrow{\mathbf{F}}.
\vec{F}(x, y)=z x y \vec{i}+x^{2} \vec{j}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional do campo vetorial \vec F(x,y,z)=z\,x\,y\,\mathbf{i}+x^{2}\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}.
O conteúdo envolvido é cálculo vetorial: vamos usar a definição de rotacional em coordenadas cartesianas e derivadas parciais.

Passo 2

Lembrando a definição de rotacional em \mathbb{R}^3, temos
\operatorname{rot}\vec F \;=\;\nabla\times\vec F \;=\; \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}
em que F_x=zxy, F_y=x^2 e F_z=0.

Passo 3

Vamos calcular cada componente:
– Componente em \mathbf{i}:
(\operatorname{rot}\vec F)_x =\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z} =0-\frac{\partial (x^2)}{\partial z} =0-0 =0.
– Componente em \mathbf{j}:
(\operatorname{rot}\vec F)_y =\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x} =\frac{\partial (zxy)}{\partial z}-0 =xy.
– Componente em \mathbf{k}:
(\operatorname{rot}\vec F)_z =\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y} =\frac{\partial (x^2)}{\partial x} -\frac{\partial (zxy)}{\partial y} =2x - zx =x\,(2 - z).

Resposta

\operatorname{rot}\vec F =0\,\mathbf{i} + xy\,\mathbf{j} + x\,(2-z)\,\mathbf{k}.

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