Para cada item a seguir, calcule rot overrightarrow{\mathbf{F}}. \vec{F}(x, y)=z x y \vec{i}+x^{2} \vec{j}
Passo 1
O enunciado pede para calcular o rotacional do campo vetorial \vec F(x,y,z)=z\,x\,y\,\mathbf{i}+x^{2}\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}.
O conteúdo envolvido é cálculo vetorial: vamos usar a definição de rotacional em coordenadas cartesianas e derivadas parciais.
Passo 2
Lembrando a definição de rotacional em \mathbb{R}^3, temos
\operatorname{rot}\vec F \;=\;\nabla\times\vec F \;=\; \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}
em que F_x=zxy, F_y=x^2 e F_z=0.
Passo 3
Vamos calcular cada componente:
– Componente em \mathbf{i}: