Resolva por transformada de Laplace o seguinte PVI:
y^prime prime+2 y^prime+y=sen t+2 de<a(t-3)
onde y(0)=0 e y^prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver por transformada de Laplace a equação
y'' + 2y' + y = sen t + 2,de<a(t-3)
com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0.
O conteúdo é a transformada de Laplace aplicada a EDO linear com forçamento composto por uma função contínua sen t e um pulso de<a(t-3). Vamos usar as fórmulas
Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), Ly'=sY(s)-y(0),
Lsen t=1s^2+1, Lde<a(t-3)=e^-3s,
e depois inverter para achar y(t).

Passo 2

Fazendo a transformada de Laplace em ambos os lados e usando y(0)=y'(0)=0,
Ly''+2y'+y =(s^2+2s+1)Y(s),
Lsen t+2,de<a(t-3) =1s^2+1+2e^-3s
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(s^2+2s+1)Y(s)=1s^2+1+2e^-3s Longrightarrow Y(s) =1(s^2+1)(s+1)^2 + 2,e^-3s(s+1)^2

Passo 3

Separemos
Y(s)=Y1(s)+Y2(s),
com
Y1(s)=1(s+1)^2(s^2+1), Y2(s)=2,e^-3s(s+1)^2

Passo 4

Para Y2(s) usamos a propriedade do deslocamento:
L^-1e^-3s(s+1)^2 =u(t-3),(t-3)e^-(t-3)
Multiplicando por 2 dá
y2(t)=2,(t-3),e^-(t-3),u(t-3)

Passo 5

Para inverter
Y1(s)=1(s+1)^2(s^2+1)
fazemos frações parciais:
1(s+1)^2(s^2+1) =As+1+B(s+1)^2+Cs+Ds^2+1
Resolvendo obtemos A=1/2, B=1/2, C=-1/2, D=0. Assim
Y1(s) =1/2s+1+1/2(s+1)^2 -1/2,ss^2+1
Invertendo cada termo:
L^-11/2s+1 =tfrac12e^-t, L^-11/2(s+1)^2 =tfrac12,t,e^-t, L^-1ss^2+1 =cos t,
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y1(t) =tfrac12e^-t+tfrac12,t,e^-t -tfrac12cos t

Passo 6

Somando as duas partes, a solução completa é
y(t) =underbracetfrac12e^-t+tfrac12,t,e^-t-tfrac12cos ty1(t) ;+; underbrace2,(t-3),e^-(t-3),u(t-3)y2(t)

Resposta

boxed y(t) =12e^-t+12t,e^-t-12cos t ;+;2,(t-3),e^-(t-3),u(t-3)

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