Para cada item a seguir deduza, mas não resolva, a integral que calcula o que se pede. Justifique cada passo e ao final apresente uma integral organizada em simplificada o quanto possível, caso o contrário perderá pontos.
\int_{C} x^{2} d x+y^{2} d y, onde C é o arco do círculo x^{2}+y^{2}=4 de (-2,-2) a (2,2).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C} x^{2}\,dx + y^{2}\,dy,
onde C é "o arco do círculo \,x^{2}+y^{2}=4\," que vai de \((-2,-2) a (2,2)". Vou listar as informações dadas:
  • A curva: \,x^{2}+y^{2}=4.
  • Os pontos inicial e final: (-2,-2) e (2,2).
    O objetivo é deduzir (mas não calcular) a integral que representa essa integral de linha ao longo de C, com justificativas e em forma simplificada.)

Passo 2

Verificação necessária (compatibilidade dos dados). Para um ponto (x,y) pertencer à curva \,x^{2}+y^{2}=4 deve valer essa igualdade. Verifico os pontos fornecidos:
(-2)^{2}+(-2)^{2}=4+4=8\neq4,
(2)^{2}+(2)^{2}=4+4=8\neq4.
Portanto os pontos (-2,-2) e (2,2) não satisfazem \,x^{2}+y^{2}=4; eles não pertencem à curva indicada. Isso gera uma inconsistência nos dados: não é possível traçar um arco do círculo \,x^{2}+y^{2}=4 que tenha esses extremos.

Passo 3

Consequência da inconsistência. Como os extremos não estão na curva dada, não é possível determinar os limites do parâmetro que descreve o arco pedido. Assim não se pode obter um valor numérico nem limites angulares específicos para a integral sobre o arco indicado. Mesmo assim, é útil (e pedido) deduzir a forma geral da integral de linha para um arco do círculo \,x^{2}+y^{2}=4 em termos de um parâmetro angular; isso mostra como a integral seria escrita caso os pontos extremos estivessem corretamente sobre a curva.

Passo 4

Parametrização padrão do círculo \,x^{2}+y^{2}=4. Para um círculo de raio 2 centrado na origem usamos a parametrização por ângulo \,t:
x(t)=2\cos t,\qquad y(t)=2\sin t,
onde o parâmetro t varia entre dois valores \,t_{1} e \,t_{2} que correspondem aos pontos inicial e final do arco (esses \,t_{1},t_{2} são os ângulos polares dos extremos). Agora calculo as diferenciais:
dx = x'(t)\,dt = -2\sin t\,dt, \qquad dy = y'(t)\,dt = 2\cos t\,dt.

Passo 5

Substituição do integrando e simplificação. Substituo x(t),y(t),dx,dy na integranda \,x^{2}\,dx + y^{2}\,dy:
x^{2}\,dx = (2\cos t)^{2} \cdot (-2\sin t\,dt) = 4\cos^{2}t \cdot (-2\sin t)\,dt = -8\cos^{2}t\sin t\,dt,
y^{2}\,dy = (2\sin t)^{2} \cdot (2\cos t\,dt) = 4\sin^{2}t \cdot 2\cos t\,dt = 8\sin^{2}t\cos t\,dt.
Somando os termos:
x^{2}\,dx + y^{2}\,dy = \bigl(-8\cos^{2}t\sin t + 8\sin^{2}t\cos t\bigr)\,dt.
Fatorando 8\sin t\cos t obtém-se a forma simplificada
x^{2}\,dx + y^{2}\,dy = 8\sin t\cos t\,(\sin t - \cos t)\,dt.

Passo 6

Forma integral final (paramétrica) e observação sobre limites. Assim a integral de linha sobre um arco C do círculo \,x^{2}+y^{2}=4 parametrizado por t entre t_{1} e t_{2} é
\int_{C} x^{2}\,dx + y^{2}\,dy = \int_{t_{1}}^{t_{2}} 8\sin t\cos t\,(\sin t - \cos t)\,dt,
onde \,t_{1} e \,t_{2} são os ângulos polares dos pontos inicial e final do arco, determinados por x=2\cos t,\;y=2\sin t. Como os pontos dados (-2,-2) e (2,2) não pertencem à curva \,x^{2}+y^{2}=4, não é possível determinar \,t_{1} e \,t_{2} a partir dos dados fornecidos; portanto não se pode especificar os limites numéricos da integral nem avaliar a integral. A expressão acima é a integral organizada e simplificada que representa o pedido, em termos dos limites angulares.

Resposta

\int_{C} x^{2}\,dx + y^{2}\,dy = \int_{t_{1}}^{t_{2}} 8\sin t\cos t\,(\sin t - \cos t)\,dt
Não é possível determinar \,t_{1} e \,t_{2} porque os pontos (-2,-2) e (2,2) não pertencem à curva \,x^{2}+y^{2}=4.

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