Para cada item a seguir deduza, mas não resolva, a integral que calcula o que se pede. Justifique cada passo e ao final apresente uma integral organizada em simplificada o quanto possível, caso o contrário perderá pontos.
, onde
é o arco do círculo
de
a
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
é "o arco do círculo
a
". Vou listar as informações dadas:
- A curva:
. - Os pontos inicial e final:
e .
O objetivo é deduzir (mas não calcular) a integral que representa essa integral de linha ao longo de, com justificativas e em forma simplificada.)
Passo 2
Verificação necessária (compatibilidade dos dados). Para um ponto
pertencer à curva
deve valer essa igualdade. Verifico os pontos fornecidos:
Portanto os pontos
e
não satisfazem
; eles não pertencem à curva indicada. Isso gera uma inconsistência nos dados: não é possível traçar um arco do círculo
que tenha esses extremos.
Passo 3
Consequência da inconsistência. Como os extremos não estão na curva dada, não é possível determinar os limites do parâmetro que descreve o arco pedido. Assim não se pode obter um valor numérico nem limites angulares específicos para a integral sobre o arco indicado. Mesmo assim, é útil (e pedido) deduzir a forma geral da integral de linha para um arco do círculo
em termos de um parâmetro angular; isso mostra como a integral seria escrita caso os pontos extremos estivessem corretamente sobre a curva.
Passo 4
Parametrização padrão do círculo
. Para um círculo de raio
centrado na origem usamos a parametrização por ângulo
:
onde o parâmetro
varia entre dois valores
e
que correspondem aos pontos inicial e final do arco (esses
são os ângulos polares dos extremos). Agora calculo as diferenciais:
Passo 5
Substituição do integrando e simplificação. Substituo
na integranda
:
Somando os termos:
Fatorando
obtém-se a forma simplificada
Passo 6
Forma integral final (paramétrica) e observação sobre limites. Assim a integral de linha sobre um arco
do círculo
parametrizado por
entre
e
é
onde
e
são os ângulos polares dos pontos inicial e final do arco, determinados por
. Como os pontos dados
e
não pertencem à curva
, não é possível determinar
e
a partir dos dados fornecidos; portanto não se pode especificar os limites numéricos da integral nem avaliar a integral. A expressão acima é a integral organizada e simplificada que representa o pedido, em termos dos limites angulares.
Resposta
Não é possível determinar
e
porque os pontos
e
não pertencem à curva
.