dada F(s)=\mathcal{L}(f(t)), obtenha f(t).
F(s)=\frac{s}{s^{2}+2 s-3}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Está dada a transformada de Laplace F(s)=\mathcal{L}(f(t)).
  • A expressão fornecida é F(s)=\frac{s}{s^{2}+2s-3}.
  • O pedido é determinar a função original f(t) (a inversa de Laplace), presumindo a convenção usual t\ge0.

Passo 2

Fazer uma fatoração do denominador para ver formas padrão. Calcula-se as raízes de s^{2}+2s-3:
s^{2}+2s-3=0\quad\Rightarrow\quad s=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{-2\pm4}{2}.
Assim as raízes são s=1 e s=-3. Logo
s^{2}+2s-3=(s-1)(s+3).

Passo 3

Vamos decompor F(s) em frações parciais no formato que corresponde a transformadas conhecidas. Escreve-se
\frac{s}{(s-1)(s+3)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+3},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s+3) obtemos a identidade polinomial
s = A(s+3)+B(s-1).
Reescrevendo o lado direito em termos de s:
s = (A+B)s + (3A - B).
Igualando coeficientes de potências de s nos dois lados:
  • Coeficiente de s: A+B = 1.
  • Termo constante: 3A - B = 0.
Resolve-se o sistema:
3A - B = 0 \Rightarrow B = 3A.
Substituindo em A+B=1:
A + 3A = 1 \Rightarrow 4A = 1 \Rightarrow A=\tfrac{1}{4}.
Então
B = 3A = \tfrac{3}{4}.
Portanto a decomposição é
\frac{s}{(s-1)(s+3)}=\frac{1/4}{s-1}+\frac{3/4}{s+3}.

Passo 5

Lembrar a tabela básica de pares de Laplace que vamos usar:
  • Para constante real a, \mathcal{L}\big(e^{at}\big)=\dfrac{1}{s-a} (para \Re(s)>a).
    Isto significa que a transformada inversa é
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at},\qquad t\ge0.
Aplicando linearidade, a inversa de uma soma de termos é a soma das inversas.

Passo 6

Aplica-se a inversa termo a termo (cada termo já está na forma padrão):
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1/4}{s-1}\right\}=\tfrac{1}{4}e^{t}.
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{3/4}{s+3}\right\}=\tfrac{3}{4}e^{-3t}.

Passo 7

Fazendo a transformada direta das parcelas obtidas:
\mathcal{L}\!\left(\tfrac{1}{4}e^{t}\right)=\frac{1/4}{s-1},\qquad \mathcal{L}\!\left(\tfrac{3}{4}e^{-3t}\right)=\frac{3/4}{s+3},
somando volta-se a \dfrac{s}{s^{2}+2s-3}, confirmando consistência.

Resposta

f(t)=\tfrac{1}{4}e^{t}+\tfrac{3}{4}e^{-3t},\qquad t\ge0

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