dada
, obtenha
.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Está dada a transformada de Laplace
. - A expressão fornecida é
- O pedido é determinar a função original
(a inversa de Laplace), presumindo a convenção usual .
Passo 2
Fazer uma fatoração do denominador para ver formas padrão. Calcula-se as raízes de
:
Assim as raízes são
e
. Logo
Passo 3
Vamos decompor
em frações parciais no formato que corresponde a transformadas conhecidas. Escreve-se
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Reescrevendo o lado direito em termos de
:
Igualando coeficientes de potências de
nos dois lados:
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Resolve-se o sistema:
Substituindo em
:
Então
Portanto a decomposição é
Passo 5
Lembrar a tabela básica de pares de Laplace que vamos usar:
- Para constante real
, (para ).
Isto significa que a transformada inversa é
Aplicando linearidade, a inversa de uma soma de termos é a soma das inversas.
Passo 6
Aplica-se a inversa termo a termo (cada termo já está na forma padrão):
-
. -
.
Passo 7
Fazendo a transformada direta das parcelas obtidas:
somando volta-se a
, confirmando consistência.