Use a transformada de Laplace para resolver cada problema de valor inicial.
y^{\prime}-2 y=u_{1}(t), y(0)=0, u_{1}(t)= \begin{cases}0, & t<1 \\\\ 1, & t \geq 1\end{cases}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • A equação diferencial com condição inicial é \;y^{\prime}-2y=u_{1}(t),\;y(0)=0.\) - A função forçante é a função degrau unitário deslocada \(\;u_{1}(t)=\begin{cases}0,&t<1\\[4pt]1,&t\ge 1\end{cases}.
O que se pede: encontrar a solução y(t) para todo t.]

Passo 2

Relembrando ferramentas que vamos usar (curta “aula” prática).
  • A transformada de Laplace de uma função f(t)\) é \(\;\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.\) - Para derivada: \(\;\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0)\), onde \(Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.\) Aqui \(y(0)=0\), então \(\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)\). - Para o degrau deslocado: se \(\;u_a(t)=\begin{cases}0,&t<a\\\ 1,&t\ge a\end{cases}, então \;\mathcal{L}\{u_a(t)\}=\dfrac{e^{-as}}{s}. Mais geralmente, se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) então \mathcal{L}\{u_a(t)f(t-a)\}=e^{-as}F(s) (teorema do deslocamento à direita). Isso nos servirá para inverter transformadas com fator e^{-as}.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace na equação \;y'-2y=u_{1}(t). Usando as propriedades acima:
\mathcal{L}\{y'\}-2\mathcal{L}\{y\}=\mathcal{L}\{u_{1}(t)\}.
Como \mathcal{L}\{y'\}=sY(s) (porque y(0)=0), obtemos
sY(s)-2Y(s)=\mathcal{L}\{u_{1}(t)\}.
Agrupando:
(s-2)Y(s)=\mathcal{L}\{u_{1}(t)\}.

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{u_{1}(t)\}. Aqui u_{1}(t)=u_{a}(t) com a=1. Pela fórmula do degrau deslocado:
\mathcal{L}\{u_{1}(t)\}=\frac{e^{-s}}{s}.
Substituindo na equação do passo anterior:
(s-2)Y(s)=\frac{e^{-s}}{s}.
Logo
Y(s)=\frac{e^{-s}}{s(s-2)}.

Passo 5

Vamos inverter Y(s). Observe que Y(s)=e^{-s}F(s) com
F(s)=\frac{1}{s(s-2)}.
Pelo teorema do deslocamento, a inversa será y(t)=u_{1}(t)\,f(t-1) onde f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}. Então precisamos achar f(t).

Passo 6

Calcular f(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s(s-2)}\right\} por frações parciais. Escrevemos
\frac{1}{s(s-2)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-2}.
Multiplicando por s(s-2):
1=A(s-2)+Bs.
Escolhendo s=0 1=A(-2)\Rightarrow A=-\tfrac{1}{2}. Escolhendo s=2 1=2B\Rightarrow B=\tfrac{1}{2}. Portanto
\frac{1}{s(s-2)}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s-2}.
Invertendo a transformada termo a termo:
f(t)=-\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}e^{2t}=\frac{1}{2}\bigl(e^{2t}-1\bigr).

Passo 7

Aplicar o teorema do deslocamento: como Y(s)=e^{-1\cdot s}F(s), tem-se
y(t)=u_{1}(t)\,f(t-1).
Substituindo f:
y(t)=u_{1}(t)\cdot\frac{1}{2}\bigl(e^{2(t-1)}-1\bigr).
Escrever em forma peça por peça (mais intuitivo para prova):
y(t)=\begin{cases} 0,& t<1,\\[4pt] \dfrac{1}{2}\bigl(e^{2(t-1)}-1\bigr),& t\ge 1. \end{cases}]

Resposta

y(t)=\begin{cases} 0,& t<1,\\[6pt] \dfrac{1}{2}\bigl(e^{2(t-1)}-1\bigr),& t\ge 1. \end{cases}]

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