Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
A equação diferencial com condição inicial é \;y^{\prime}-2y=u_{1}(t),\;y(0)=0.\)
- A função forçante é a função degrau unitário deslocada \(\;u_{1}(t)=\begin{cases}0,&t<1\\[4pt]1,&t\ge 1\end{cases}.
O que se pede: encontrar a solução y(t) para todo t.]
Passo 2
Relembrando ferramentas que vamos usar (curta “aula” prática).
A transformada de Laplace de uma função f(t)\) é \(\;\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.\)
- Para derivada: \(\;\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0)\), onde \(Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.\) Aqui \(y(0)=0\), então \(\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)\).
- Para o degrau deslocado: se \(\;u_a(t)=\begin{cases}0,&t<a\\\ 1,&t\ge a\end{cases}, então \;\mathcal{L}\{u_a(t)\}=\dfrac{e^{-as}}{s}. Mais geralmente, se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) então \mathcal{L}\{u_a(t)f(t-a)\}=e^{-as}F(s) (teorema do deslocamento à direita). Isso nos servirá para inverter transformadas com fator e^{-as}.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace na equação \;y'-2y=u_{1}(t). Usando as propriedades acima: