Em cada item a seguir, determine: o domínio, as interseções com os eixos (se possível), os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais e globais, os intervalos de concavidade, os pontos de inflexão, as assíntotas de f. Em seguida, esboce o gráfico de f.
f(x)=\frac{2\left(x^{2}-9\right)}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede uma análise completa da função
f(x)=\frac{2\bigl(x^{2}-9\bigr)}{x^{2}-4}
Isso envolve: domínio, interseções com eixos, pontos críticos, monotonia, extremos locais e globais, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e esboço do gráfico. Vamos usar: divisão de polinômios (para assíntotas), derivadas primeira e segunda (para pontos críticos, monotonia e concavidade) e limites (para assíntotas).

Passo 2

Domínio: x^{2}-4\neq0 x\neq\pm2.
Interseção com eixo x: resolver f(x)=0 2(x^{2}-9)=0 x^{2}=9 x=\pm3.
Interseção com eixo y: f(0)=2(0-9)/(0-4)= -18/(-4)=9/2. Logo o ponto (0,9/2).

Passo 3

Assíntotas verticais: pontos onde o denominador zera ⇒ x=2 e x=-2.
Assíntota horizontal: comparar graus de numerador e denominador (ambos grau 2). Dividindo:
\frac{2(x^{2}-9)}{x^{2}-4} =2\;\frac{x^{2}-4-5}{x^{2}-4} =2\Bigl(1-\frac{5}{x^{2}-4}\Bigr)
logo \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=2. A assíntota é y=2.

Passo 4

Derivada primeira:
f'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac{2(x^{2}-9)}{x^{2}-4}\Bigr] =\frac{20\,x}{(x^{2}-4)^{2}}.
Zera-se em x=0 (único ponto crítico no domínio). Em (-\infty,-2), em (-2,0), em (0,2), em (2,\infty) o denominador é sempre positivo e o sinal de f' é o mesmo de x.
Portanto
– para x<0, f'(x)<0 f é decrescente;
– para x>0, f'(x)>0 f é crescente.
Em x=0 há um mínimo local, com f(0)=9/2. Como f\to\pm\infty nas assíntotas, não há extremos globais finitos além desse mínimo local.

Passo 5

Derivada segunda:
f''(x) =-\frac{20\bigl(3x^{2}+4\bigr)}{(x^{2}-4)^{3}}.
Como 3x^{2}+4>0 sempre, o sinal de f'' é oposto ao de (x^{2}-4)^{3}. Logo
– em |x|>2, x^{2}-4>0 f''(x)<0 ⇒ côncavo para baixo;
– em |x|<2, x^{2}-4<0 f''(x)>0 ⇒ côncavo para cima.
Não há pontos de inflexão no domínio (porque mudaria em x=\pm2, onde a função não existe).

Passo 6

Esboço do gráfico (descrição):
  • Ramos verticais em x=-2 e x=2.
  • Horizontal em y=2.
  • Zeros em (-3,0) e (3,0).
  • Interseção (0,9/2), que é o mínimo local.
  • Para x\in(-2,2), decresce de +\infty em x\to-2^+ até 9/2 em x=0 e cresce de 9/2 até +\infty em x\to2^-; concavidade para cima.
  • Para x>2, parte de -\infty em 2^+, cruza (3,0), se aproxima de y=2 por baixo; concavidade para baixo.
  • Para x<-2, parte de -\infty em -2^-, cruza (-3,0), se aproxima de y=2 por baixo; concavidade para baixo.

Resposta

Domínio: \mathbb R\setminus\{\,-2,2\}
Interceptos: zeros em \,(-3,0),(3,0), ,y–intercepto (0,9/2).
Ponto crítico: x=0, mínimo local f(0)=9/2.
Monotonia: decrescente em (-\infty,0), crescente em (0,\infty).
Assíntotas: verticais x=\pm2, horizontal y=2.
Concavidade: côncavo para cima em (-2,2), para baixo em (-\infty,-2)\cup(2,\infty).
Pontos de inflexão: nenhum no domínio.
Gráfico: conforme descrito no passo 6.

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