Em cada item a seguir, determine: o domínio, as interseções com os eixos (se possível), os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais e globais, os intervalos de concavidade, os pontos de inflexão, as assíntotas de
. Em seguida, esboce o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede uma análise completa da função
Isso envolve: domínio, interseções com eixos, pontos críticos, monotonia, extremos locais e globais, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e esboço do gráfico. Vamos usar: divisão de polinômios (para assíntotas), derivadas primeira e segunda (para pontos críticos, monotonia e concavidade) e limites (para assíntotas).
Passo 2
Domínio:
⇒
.
Interseção com eixo : resolver
⇒
⇒
⇒
.
Interseção com eixo :
. Logo o ponto
.
Interseção com eixo
Interseção com eixo
Passo 3
Assíntotas verticais: pontos onde o denominador zera ⇒
e
.
Assíntota horizontal: comparar graus de numerador e denominador (ambos grau 2). Dividindo:
Assíntota horizontal: comparar graus de numerador e denominador (ambos grau 2). Dividindo:
logo
. A assíntota é
.
Passo 4
Derivada primeira:
Zera-se em
(único ponto crítico no domínio). Em
, em
, em
, em
o denominador é sempre positivo e o sinal de
é o mesmo de
.
Portanto
– para ,
⇒
é decrescente;
– para ,
⇒
é crescente.
Em há um mínimo local, com
. Como
nas assíntotas, não há extremos globais finitos além desse mínimo local.
Portanto
– para
– para
Em
Passo 5
Derivada segunda:
Como
sempre, o sinal de
é oposto ao de
. Logo
– em ,
⇒
⇒ côncavo para baixo;
– em ,
⇒
⇒ côncavo para cima.
Não há pontos de inflexão no domínio (porque mudaria em , onde a função não existe).
– em
– em
Não há pontos de inflexão no domínio (porque mudaria em
Passo 6
Esboço do gráfico (descrição):
- Ramos verticais em
e . - Horizontal em
. - Zeros em
e . - Interseção
, que é o mínimo local. - Para
, decresce de em até em e cresce de até em ; concavidade para cima. - Para
, parte de em , cruza , se aproxima de por baixo; concavidade para baixo. - Para
, parte de em , cruza , se aproxima de por baixo; concavidade para baixo.
Resposta
Domínio:
Interceptos: zeros em , ,y–intercepto
.
Ponto crítico: , mínimo local
.
Monotonia: decrescente em , crescente em
.
Assíntotas: verticais , horizontal
.
Concavidade: côncavo para cima em , para baixo em
.
Pontos de inflexão: nenhum no domínio.
Gráfico: conforme descrito no passo 6.
Interceptos: zeros em
Ponto crítico:
Monotonia: decrescente em
Assíntotas: verticais
Concavidade: côncavo para cima em
Pontos de inflexão: nenhum no domínio.
Gráfico: conforme descrito no passo 6.