Em cada item a seguir, determine: o domínio, as interseções com os eixos (se possível), os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais e globais, os intervalos de concavidade, os pontos de inflexão, as assíntotas de f. Em seguida, esboce o gráfico de f.
f(x)=\frac{x^{2}}{4-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a análise completa da função
f(x)=\frac{x^{2}}{4-x^{2}}
vamos determinar domínio, interceptos com os eixos, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos locais e globais, intervalos de concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, esboçar o gráfico.

Passo 2

Domínio e assíntotas verticais. O denominador 4-x^{2}=0 em x=\pm2, logo
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{\,-2,2\}.
Como em x\to2^\pm e x\to-2^\pm o denominador tende a zero, há assíntotas verticais em
x=-2 \quad\text{e}\quad x=2.

Passo 3

Interceptos. O intercepto em y ocorre em x=0,
f(0)=0,
logo o ponto (0,0) é também o único intercepto em x (pois x^2=0 só em x=0).

Passo 4

Derivada primeira e pontos críticos. Aplicando regra do quociente,
f'(x) =\frac{2x(4-x^{2})-x^{2}(-2x)}{(4-x^{2})^{2}} =\frac{8x}{(4-x^{2})^{2}}.
Temos f'(x)=0 somente em x=0. Em x=\pm2 a derivada não está definida, mas são pontos fora do domínio, portanto o único ponto crítico é x=0.

Passo 5

Crescimento e decrescimento. O denominador (4-x^{2})^{2} é sempre positivo em todo o domínio, então o sinal de f'(x) é o de 8x. Assim:
para x<0, f'(x)<0 (decresce);
para x>0, f'(x)>0 (cresce).
Separando pelos pontos de descontinuidade e por 0:
(-\infty,-2):\text{ decrescente},\; (-2,0):\text{ decrescente},\; (0,2):\text{ crescente},\; (2,\infty):\text{ crescente}.

Passo 6

Extremos locais e globais. Em x=0, a derivada muda de negativa para positiva, logo há um mínimo local em
(0,0).
Não há máximo local. Como f(x)\to-1 quando x\to\pm\infty (veja próximo passo), e f atinge valores arbitrariamente grandes positivos perto de x=\pm2, não ocorrem extremos globais além desse mínimo.

Passo 7

Derivada segunda, concavidade e pontos de inflexão. Calculando
f''(x) =\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{8x}{(4-x^{2})^{2}}\Bigr) =\frac{8(4+3x^{2})}{(4-x^{2})^{3}}.
O numerador é sempre positivo, de modo que o sinal de f''(x) é o de (4-x^{2})^{3}. Assim:
em |x|<2, 4-x^{2}>0\implies f''(x)>0 (concavidade para cima);
em |x|>2, 4-x^{2}<0\implies f''(x)<0 (concavidade para baixo).
Não há solução de f''(x)=0 no domínio, logo não existem pontos de inflexão.

Passo 8

Assíntota horizontal. Para \lvert x\rvert\to\infty podemos escrever
f(x)=\frac{x^{2}}{4-x^{2}} =-1-\frac{4}{x^{2}-4},
de onde
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-1.
Logo há assíntota horizontal
y=-1.
As assíntotas verticais já foram identificadas em x=\pm2, com comportamentos:
x\to2^-:f(x)\to+\infty, \; x\to2^+:f(x)\to-\infty, \; x\to-2^-:f(x)\to-\infty, \; x\to-2^+:f(x)\to+\infty.

Passo 9

Esboço do gráfico. Resumindo as informações:
– Domínio em três ramos: (-\infty,-2), ( -2,2), (2,\infty).
– Intercepto e mínimo em (0,0).
– Decrescente em (-\infty,0), crescente em (0,\infty).
– Concavidade para baixo em (-\infty,-2) e (2,\infty); para cima em (-2,2).
– Assíntotas verticais x=\pm2 e horizontal y=-1.
Com isso desenha-se um ramo à esquerda de x=-2 vindo de (-\infty,-1), decrescente e côncavo para baixo, indo a -\infty em x\to-2^-; no intervalo (-2,0) ele vai de +\infty a 0, decrescente e côncavo para cima; em (0,2) sobe de 0 a +\infty, crescente e côncavo para cima; e em (2,\infty) ressurge de -\infty, crescente e côncavo para baixo, rumo a -1.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{\,-2,2\}.
Interceptos: único em (0,0).
Ponto crítico: x=0.
Cresce em (0,2) e (2,\infty); decresce em (-\infty,-2) e (-2,0).
Mínimo local em (0,0); sem máximos locais.
Concava para cima em (-2,2); para baixo em (-\infty,-2) e (2,\infty).
Sem inflexões.
Assíntotas verticais em x=-2, x=2; assíntota horizontal em y=-1.
Esboço conforme descrição no passo anterior.

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