Em cada item a seguir, determine: o domínio, as interseções com os eixos (se possível), os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais e globais, os intervalos de concavidade, os pontos de inflexão, as assíntotas de
. Em seguida, esboce o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede a análise completa da função
vamos determinar domínio, interceptos com os eixos, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos locais e globais, intervalos de concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, esboçar o gráfico.
Passo 2
Domínio e assíntotas verticais. O denominador
em
, logo
Como em
e
o denominador tende a zero, há assíntotas verticais em
Passo 3
Interceptos. O intercepto em
ocorre em
,
logo o ponto
é também o único intercepto em
(pois
só em
).
Passo 4
Derivada primeira e pontos críticos. Aplicando regra do quociente,
Temos
somente em
. Em
a derivada não está definida, mas são pontos fora do domínio, portanto o único ponto crítico é
Passo 5
Crescimento e decrescimento. O denominador
é sempre positivo em todo o domínio, então o sinal de
é o de
. Assim:
para ,
(decresce);
para ,
(cresce).
Separando pelos pontos de descontinuidade e por :
para
para
Separando pelos pontos de descontinuidade e por
Passo 6
Extremos locais e globais. Em
, a derivada muda de negativa para positiva, logo há um mínimo local em
Não há máximo local. Como
quando
(veja próximo passo), e
atinge valores arbitrariamente grandes positivos perto de
, não ocorrem extremos globais além desse mínimo.
Passo 7
Derivada segunda, concavidade e pontos de inflexão. Calculando
O numerador é sempre positivo, de modo que o sinal de
é o de
. Assim:
em ,
(concavidade para cima);
em ,
(concavidade para baixo).
Não há solução de no domínio, logo não existem pontos de inflexão.
em
em
Não há solução de
Passo 8
Assíntota horizontal. Para
podemos escrever
de onde
Logo há assíntota horizontal
As assíntotas verticais já foram identificadas em
, com comportamentos:
Passo 9
Esboço do gráfico. Resumindo as informações:
– Domínio em três ramos: ,
,
.
– Intercepto e mínimo em .
– Decrescente em , crescente em
.
– Concavidade para baixo em e
; para cima em
.
– Assíntotas verticais e horizontal
.
– Domínio em três ramos:
– Intercepto e mínimo em
– Decrescente em
– Concavidade para baixo em
– Assíntotas verticais
Com isso desenha-se um ramo à esquerda de
vindo de
, decrescente e côncavo para baixo, indo a
em
; no intervalo
ele vai de
a
, decrescente e côncavo para cima; em
sobe de
a
, crescente e côncavo para cima; e em
ressurge de
, crescente e côncavo para baixo, rumo a
.
Resposta
Domínio:
.
Interceptos: único em .
Ponto crítico: .
Cresce em e
; decresce em
e
.
Mínimo local em ; sem máximos locais.
Concava para cima em ; para baixo em
e
.
Sem inflexões.
Assíntotas verticais em ,
; assíntota horizontal em
.
Esboço conforme descrição no passo anterior.
Interceptos: único em
Ponto crítico:
Cresce em
Mínimo local em
Concava para cima em
Sem inflexões.
Assíntotas verticais em
Esboço conforme descrição no passo anterior.