Em cada item a seguir, determine: o domínio, as interseções com os eixos (se possível), os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais e globais, os intervalos de concavidade, os pontos de inflexão, as assíntotas de
. Em seguida, esboce o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo da função
incluindo domínio, interseções com eixos, pontos críticos, monotonicidade, extremos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e esboço do gráfico. Para isso, usaremos derivadas primeira e segunda, além de análise de limites.
Passo 2
Domínio e interceptos
- O denominador
nunca se anula, logo o domínio é todo o conjunto dos reais:
- Interseção com o eixo
: em tem-se
ou seja,
.
- Interseção com o eixo
: resolvendo vem , sem solução real. Portanto, não há raízes reais. - Observação:
é uma função par, pois .
Passo 3
Monotonicidade e extremos locais
- Derivada primeira por regra do quociente:
- Pontos críticos: resolver
dá . - Sinal de
: para , então ; para , então .
Isso mostra quedecresce em e cresce em . - Em
, a derivada muda de negativa para positiva, logo há um mínimo local. Como
e
para todo
, esse mínimo é também global.
Passo 4
Concavidade e pontos de inflexão
- Derivada segunda:
- Zeros de
: leva a . - Sinal de
: - Se
, então e , concavidade para cima. - Se
, então e , concavidade para baixo. - Pontos de inflexão em
.
Coordenadas:
Passo 5
Assíntotas
- Para
, note que
Assim, há uma assíntota horizontal
.
- Não há assíntotas verticais nem oblíquas.
Resposta
Domínio:
Interseções: eixo em
; sem interseção com eixo
Pontos críticos:
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento:
Extremo local e global: mínimo em
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
Pontos de inflexão:
Assíntota horizontal:
Esboço do gráfico: função par que decresce de em
até o mínimo
, depois cresce de volta a
em
, mudando de concavidade nos pontos de inflexão indicados.
Interseções: eixo
Pontos críticos:
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento:
Extremo local e global: mínimo em
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
Pontos de inflexão:
Assíntota horizontal:
Esboço do gráfico: função par que decresce de