Em cada item a seguir, determine: o domínio, as interseções com os eixos (se possível), os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais e globais, os intervalos de concavidade, os pontos de inflexão, as assíntotas de f. Em seguida, esboce o gráfico de f.
f(x)=\frac{5 x^{2}+2}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função
f(x)=\frac{5x^{2}+2}{x^{2}+1}
incluindo domínio, interseções com eixos, pontos críticos, monotonicidade, extremos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e esboço do gráfico. Para isso, usaremos derivadas primeira e segunda, além de análise de limites.

Passo 2

Domínio e interceptos
  • O denominador x^{2}+1 nunca se anula, logo o domínio é todo o conjunto dos reais:
\mathrm{Dom}\,f=\mathbb{R}.
  • Interseção com o eixo y: em x=0 tem-se
f(0)=\frac{5\cdot0^{2}+2}{0^{2}+1}=2,
ou seja, (0,2).
  • Interseção com o eixo x: resolvendo f(x)=0 vem 5x^{2}+2=0, sem solução real. Portanto, não há raízes reais.
  • Observação: f é uma função par, pois f(-x)=f(x).

Passo 3

Monotonicidade e extremos locais
  • Derivada primeira por regra do quociente:
f'(x) =\frac{(10x)(x^{2}+1)-(5x^{2}+2)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{6x}{(x^{2}+1)^{2}}.
  • Pontos críticos: resolver f'(x)=0 x=0.
  • Sinal de f'(x): para x<0, 6x<0 então f'(x)<0; para x>0, 6x>0 então f'(x)>0.
    Isso mostra que f decresce em (-\infty,0) e cresce em (0,\infty).
  • Em x=0, a derivada muda de negativa para positiva, logo há um mínimo local. Como
f(0)=2
e f(x)>2 para todo x\neq0, esse mínimo é também global.

Passo 4

Concavidade e pontos de inflexão
  • Derivada segunda:
f''(x) =\bigl(6x(x^{2}+1)^{-2}\bigr)' =\frac{6-18x^{2}}{(x^{2}+1)^{3}} =\frac{6(1-3x^{2})}{(x^{2}+1)^{3}}.
  • Zeros de f'': 1-3x^{2}=0 leva a x=\pm \tfrac{1}{\sqrt{3}}.
  • Sinal de f'':
  • Se |x|<\tfrac{1}{\sqrt3}, então 1-3x^2>0 e f''(x)>0, concavidade para cima.
  • Se |x|>\tfrac{1}{\sqrt3}, então 1-3x^2<0 e f''(x)<0, concavidade para baixo.
  • Pontos de inflexão em x=\pm\tfrac{1}{\sqrt3}.
    Coordenadas:
f\bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt3}\bigr) =\frac{5\bigl(\tfrac13\bigr)+2}{\tfrac13+1} =\frac{\tfrac{5}{3}+2}{\tfrac{4}{3}} =\frac{\tfrac{11}{3}}{\tfrac{4}{3}} =\frac{11}{4}.

Passo 5

Assíntotas
  • Para x\to\pm\infty, note que
f(x)=\frac{5x^{2}+2}{x^{2}+1} =5-\frac{3}{x^{2}+1} \longrightarrow 5.
Assim, há uma assíntota horizontal y=5.
  • Não há assíntotas verticais nem oblíquas.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Interseções: eixo y em (0,2); sem interseção com eixo x
Pontos críticos: x=0
Intervalos de crescimento: \bigl(0,\infty\bigr)
Intervalos de decrescimento: \bigl(-\infty,0\bigr)
Extremo local e global: mínimo em \bigl(0,2\bigr)
Concavidade para cima: \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt3},\tfrac{1}{\sqrt3}\bigr)
Concavidade para baixo: \bigl(-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt3}\bigr)\cup\bigl(\tfrac{1}{\sqrt3},\infty\bigr)
Pontos de inflexão: \bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt3},\tfrac{11}{4}\bigr)
Assíntota horizontal: y=5
Esboço do gráfico: função par que decresce de y\to5^- em -\infty até o mínimo (0,2), depois cresce de volta a y\to5^- em +\infty, mudando de concavidade nos pontos de inflexão indicados.

Exercícios relacionados