Em cada item a seguir, determine: o domínio, as interseções com os eixos (se possível), os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais e globais, os intervalos de concavidade, os pontos de inflexão, as assíntotas de f. Em seguida, esboce o gráfico de f.
f(x)=\frac{1-x^{2}}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1}
determinarmos: o domínio, interseções com os eixos, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos locais e globais, intervalos de concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, esboçarmos o gráfico.
O conteúdo principal é análise de funções por derivadas primeira e segunda, junto com estudo de assíntotas.

Passo 2

Domínio: o denominador x^{2}+1 nunca zera, logo
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.
Interseção com o eixo y (colocando x=0):
f(0)=\frac{1-0}{0+1}=1,
logo o ponto (0,1).
Interseções com o eixo x (resolvendo 1-x^{2}=0):
x=\pm1,
logo pontos (-1,0) e (1,0).

Passo 3

Derivada primeira pelo quociente:
f'(x) =\frac{(x^{2}+1)\cdot(-2x)-(1-x^{2})\cdot(2x)}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{-4x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Pontos críticos: f'(x)=0 x=0. Não há derivada inexistente.
Sinal de f'(x):
- Para x<0, -4x>0 \implies f'(x)>0 (cresce).
- Para x>0, -4x<0 \implies f'(x)<0 (decresce).
Em x=0 há um máximo local e, como
f(0)=1
é o valor mais alto que f atinge (todos os outros valores estão em (-1,1)), é também máximo global. Não há mínimo local isolado.

Passo 4

Derivada segunda:
f''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(-4x(x^{2}+1)^{-2}\Bigr) =\frac{12x^{2}-4}{(x^{2}+1)^{3}}.
Pontos de inflexão quando 12x^{2}-4=0, ou seja x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.
Valores em x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}:
f\!\Bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) =\frac{1-\tfrac{1}{3}}{1+\tfrac{1}{3}} =\frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{4}{3}}=\tfrac12.
Concavidade:
- f''(x)>0 para |x|>\tfrac{1}{\sqrt{3}} (côncavo para cima).
- f''(x)<0 para |x|<\tfrac{1}{\sqrt{3}} (côncavo para baixo).

Passo 5

Assíntotas:
- Não há verticais (denominador nunca zera).
- Horizontal para x\to\pm\infty:
\lim_{x\to\pm\infty}f(x) =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1-x^{2}}{x^{2}+1} =-1.
Logo assíntota y=-1.

Passo 6

Esboço do gráfico:
- Função par, simétrica em relação ao eixo y.
- Zeros em \pm1, máximo em (0,1).
- Decresce de 0 a +\infty e cresce de -\infty a 0.
- Inflect points em \bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac12\bigr).
- Aproxima-se de y=-1 nas duas extremidades.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Interceptos: (0,1), (-1,0), (1,0)
Ponto crítico: x=0 (máximo global em (0,1))
Monotonia: crescente em (-\infty,0), decrescente em (0,\infty)
Concavidade: côncavo para baixo em \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr), côncavo para cima em (-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt{3}})\cup(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\infty)
Pontos de inflexão: \bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac12\bigr)
Assíntota horizontal: y=-1
Esboço: conforme descrito no Passo 6.

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