Em cada item a seguir, determine: o domínio, as interseções com os eixos (se possível), os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais e globais, os intervalos de concavidade, os pontos de inflexão, as assíntotas de
. Em seguida, esboce o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinarmos: o domínio, interseções com os eixos, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos locais e globais, intervalos de concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, esboçarmos o gráfico.
O conteúdo principal é análise de funções por derivadas primeira e segunda, junto com estudo de assíntotas.
O conteúdo principal é análise de funções por derivadas primeira e segunda, junto com estudo de assíntotas.
Passo 2
Domínio: o denominador
nunca zera, logo
Interseção com o eixo
(colocando
):
logo o ponto
.
Interseções com o eixo (resolvendo
):
Interseções com o eixo
logo pontos
e
.
Passo 3
Derivada primeira pelo quociente:
Pontos críticos:
dá
. Não há derivada inexistente.
Sinal de :
- Para ,
(cresce).
- Para ,
(decresce).
Em há um máximo local e, como
Sinal de
- Para
- Para
Em
é o valor mais alto que
atinge (todos os outros valores estão em
), é também máximo global. Não há mínimo local isolado.
Passo 4
Derivada segunda:
Pontos de inflexão quando
, ou seja
.
Valores em :
Valores em
Concavidade:
- para
(côncavo para cima).
- para
(côncavo para baixo).
-
-
Passo 5
Assíntotas:
- Não há verticais (denominador nunca zera).
- Horizontal para :
- Não há verticais (denominador nunca zera).
- Horizontal para
Logo assíntota
.
Passo 6
Esboço do gráfico:
- Função par, simétrica em relação ao eixo .
- Zeros em , máximo em
.
- Decresce de a
e cresce de
a
.
- Inflect points em .
- Aproxima-se de nas duas extremidades.
- Função par, simétrica em relação ao eixo
- Zeros em
- Decresce de
- Inflect points em
- Aproxima-se de
Resposta
Domínio:
Interceptos: ,
,
Ponto crítico: (máximo global em
)
Monotonia: crescente em , decrescente em
Concavidade: côncavo para baixo em , côncavo para cima em
Pontos de inflexão:
Assíntota horizontal:
Esboço: conforme descrito no Passo 6.
Interceptos:
Ponto crítico:
Monotonia: crescente em
Concavidade: côncavo para baixo em
Pontos de inflexão:
Assíntota horizontal:
Esboço: conforme descrito no Passo 6.