Seja ( an ) uma sequência limitada e
lim n infty bn= uma sequência convergente, com M>0 0 . Mostre que a sequência n converge para 0 . (Dica: Use o Teorema do Confronto e o fato de que, por ser limitada, existe uma constante an=n^2n^2+1 cdot e^-n tal que para todo .)
Calcule o limite das seguintes sequências, utilizando o resultado da questão anterior sempre que possível. (Dica: Utilize o resultado da Questão anterior.)

Passo 1

Estamos diante de duas partes: primeiro provar que, se (an) é limitada e (bn)to0, então (an bn)to0; segundo, usar esse resultado para calcular an=n^2n^2+1e^-n. O conteúdo central é o Teorema do Confronto e a definição de sequência limitada.

Passo 2

Como (an) é limitada, existe M>0 tal que para todo n vale
|an|<= M
Multiplicando em módulo por |bn| obtemos
|an bn|<= M,|bn|

Passo 3

Sabendo que bnto0, temos M|bn|to Mcdot0=0. Além disso, sempre
0<= |an bn|<= M|bn|
Pelo Teorema do Confronto concluímos que
|an bn|to0
e portanto
an bnto0

Passo 4

Agora, na sequência an=n^2n^2+1e^-n, note que n^2n^2+1 é limitada (fica sempre entre 0 e 1) e e^-nto0. Pelo resultado anterior, o produto dessas duas sequências converge para 0.

Resposta

limntoinfty n^2n^2+1e^-n = 0.

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