Seja (
) uma sequência limitada e
uma sequência convergente, com
0 . Mostre que a sequência
converge para 0 . (Dica: Use o Teorema do Confronto e o fato de que, por ser limitada, existe uma constante
tal que
para todo
.)
Calcule o limite das seguintes sequências, utilizando o resultado da questão anterior sempre que possível. (Dica: Utilize o resultado da Questão anterior.)
Calcule o limite das seguintes sequências, utilizando o resultado da questão anterior sempre que possível. (Dica: Utilize o resultado da Questão anterior.)
Passo 1
Estamos diante de duas partes: primeiro provar que, se
é limitada e
, então
; segundo, usar esse resultado para calcular
. O conteúdo central é o Teorema do Confronto e a definição de sequência limitada.
Passo 2
Como
é limitada, existe
tal que para todo
vale
Multiplicando em módulo por
obtemos
Passo 3
Sabendo que
, temos
. Além disso, sempre
Pelo Teorema do Confronto concluímos que
e portanto
Passo 4
Agora, na sequência
, note que
é limitada (fica sempre entre 0 e 1) e
. Pelo resultado anterior, o produto dessas duas sequências converge para 0.