Seja uma lĂąmina delgada representada pela regiĂŁo D, determinada por y <= x, y >=-x, x^2+y^2 >= 2 x e x^2+y^2 <= 4 x. Se a densidade em cada ponto Ă© dada por rho(x, y)=1raizx^2+y^2, determine:
(a) A massa de D.
(b) O momento de inércia em relação à origem.

Passo 1

O problema pede para calcular a massa e o momento de inércia de uma lâmina delgada com densidade rho(x,y)=1/raizx^2+y^2, cujo domínio D é dado por

Isso envolve integração dupla e, por causa da simetria circular, vamos usar coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
y=pm x
As retas theta=pmpi/4 viram r^2=2x. As curvas r^2=4x e costheta>=0 viram
theta
Como -pi/4, pi/4 vai de r a 2costheta e 4costheta de a .

Passo 3

Para a massa usamos
(
M=\iint_D\rho,dA
=\int_{\theta=-\pi/4}{\pi/4}\int_{r=2\cos\theta}{4\cos\theta}\frac1r,(r,dr,d\theta)
=\int_{-\pi/4}{\pi/4}\int_{2\cos\theta}{4\cos\theta}dr,d\theta
=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}(4\cos\theta-2\cos\theta),d\theta
=2\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos\theta,d\theta
=2[\sin\theta]_{-\pi/4}^{\pi/4}
=2(\tfrac{\sqrt2}2-(-\tfrac{\sqrt2}2))
=2\sqrt2
]

Passo 4

Para o momento de inércia usamos

Logo
cos^3theta

Resposta

massa = 2raiz2, momento de inércia = tfrac140raiz29.

Exercícios relacionados