Seja uma lĂąmina delgada representada pela regiĂŁo
, determinada por
e
. Se a densidade em cada ponto Ă© dada por
, determine:
(a) A massa de
.
(b) O momento de inércia em relação à origem.
(a) A massa de
(b) O momento de inércia em relação à origem.
Passo 1
O problema pede para calcular a massa e o momento de inércia de uma lâmina delgada com densidade
, cujo domínio
é dado por
Isso envolve integração dupla e, por causa da simetria circular, vamos usar coordenadas polares.
Isso envolve integração dupla e, por causa da simetria circular, vamos usar coordenadas polares.
Passo 2
Em coordenadas polares fazemos
As retas viram
. As curvas
e
viram
Como ,
vai de
a
e
de
a
.
As retas
Como
Passo 3
Para a massa usamos
(
M=\iint_D\rho,dA
=\int_{\theta=-\pi/4}{\pi/4}\int_{r=2\cos\theta}{4\cos\theta}\frac1r,(r,dr,d\theta)
=\int_{-\pi/4}{\pi/4}\int_{2\cos\theta}{4\cos\theta}dr,d\theta
=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}(4\cos\theta-2\cos\theta),d\theta
=2\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos\theta,d\theta
=2[\sin\theta]_{-\pi/4}^{\pi/4}
=2(\tfrac{\sqrt2}2-(-\tfrac{\sqrt2}2))
=2\sqrt2
]
(
M=\iint_D\rho,dA
=\int_{\theta=-\pi/4}{\pi/4}\int_{r=2\cos\theta}{4\cos\theta}\frac1r,(r,dr,d\theta)
=\int_{-\pi/4}{\pi/4}\int_{2\cos\theta}{4\cos\theta}dr,d\theta
=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}(4\cos\theta-2\cos\theta),d\theta
=2\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos\theta,d\theta
=2[\sin\theta]_{-\pi/4}^{\pi/4}
=2(\tfrac{\sqrt2}2-(-\tfrac{\sqrt2}2))
=2\sqrt2
]
Passo 4
Para o momento de inércia usamos
Logo
Logo
Resposta
massa =
, momento de inércia =
.