Em cada item a seguir, encontre uma base para a interseção W1 cap W2 e, em seguida, complete esta base tanto a uma base de W1 como a uma base de W2.
W1 e W2 são os subespaços vetoriais de R^4 dados por W1=>=r[u1, u2], W2=>=r[v1, v2, v3], onde
ll u1=(1,-1,1,0) & v1=(1,1,0,0) u2=(0,1,-1,1) & , v2=(0,1,1,0) v3=(0,0,1,1)

Passo 1

O enunciado dá os subespaços
W1=spanu1,u2 e
W2=spanv1,v2,v3 em R^4, onde
u1=(1,-1,1,0), u2=(0,1,-1,1),
v1=(1,1,0,0), v2=(0,1,1,0), v3=(0,0,1,1)
Precisamos achar uma base de W1capW2 e depois completar essa base a uma base de W1 e a uma base de W2.

Passo 2

Vamos escrever um vetor genérico de W1. Se xinW1, existem escalares a,b tais que
x = a,u1 + b,u2 = l(a,,-a+b,;a-b,;br)

Passo 3

De forma análoga, um vetor yinW2 pode ser escrito como
y = c,v1 + d,v2 + e,v3 = l(c,;c+d,;d+e,;er)

Passo 4

Para encontrar
Da primeira e última equações . Substituindo na segunda:

Na terceira:

Logo , , , . Substituindo de volta:
Portanto

Passo 5

Agora estendo (1,0,0,1) a uma base de W1. Como dimW1=2 (os vetores u1,u2 são independentes), basta acrescentar um vetor em u1,u2 que não pertença à interseção. Por exemplo, u1=(1,-1,1,0) é linearmente independente de (1,0,0,1). Logo uma base de W1 é
(1,0,0,1),;u1

Passo 6

Para W2 temos dimW2=3. Partindo de (1,0,0,1), podemos acrescentar dois vetores de v1,v2,v3. Escolhendo, por exemplo, v1=(1,1,0,0) e v2=(0,1,1,0), verifica-se que (1,0,0,1),v1,v2 são independentes. Assim uma base de W2 é
(1,0,0,1),;v1,;v2

Resposta

Base de W1capW2: (1,0,0,1).
Base de W1: (1,0,0,1),;u1.
Base de W2: (1,0,0,1),;v1,;v2.

Exercícios relacionados