Em cada item a seguir, encontre uma base para a interseção
e, em seguida, complete esta base tanto a uma base de
como a uma base de
.
e
são os subespaços vetoriais de
dados por
,
, onde
Passo 1
O enunciado dá os subespaços
e
em
, onde
Precisamos achar uma base de
e depois completar essa base a uma base de
e a uma base de
.
Passo 2
Vamos escrever um vetor genérico de
. Se
, existem escalares
tais que
Passo 3
De forma análoga, um vetor
pode ser escrito como
Passo 4
Para encontrar
Da primeira e última equações . Substituindo na segunda:
Na terceira:
Logo
Portanto
Passo 5
Agora estendo
a uma base de
. Como
(os vetores
são independentes), basta acrescentar um vetor em
que não pertença à interseção. Por exemplo,
é linearmente independente de
. Logo uma base de
é
Passo 6
Para
temos
. Partindo de
, podemos acrescentar dois vetores de
. Escolhendo, por exemplo,
e
, verifica-se que
são independentes. Assim uma base de
é
Resposta
Base de
:
.
Base de :
.
Base de :
.
Base de
Base de