Sabe-se que a seguinte matriz tem posto 3:
A=[cccccc 2 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 1 a & b & c & d & e & f g & h & i & j & l & m ]
Sejam v1, v2, v3, v4, v5 os vetores do R^6 que representam (em ordem) as linhas de A. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa:
(a) Pode-se afirmar que as duas últimas linhas de A são nulas: v4=0 e v5=0.
(b) Pode-se afirmar que v4 e v5 são L.D.
(c) Pode-se afirmar que v4 in >=r[v1, v2, v3], e que v5 in >=r[v1, v2, v3].
(d) Pode-se afirmar que v1, v2, v3, v4 são L.D.
(e) Pode-se afirmar que v1, v2, v3 formam uma base para o espaço de linhas mathscrL(A).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A= 2 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 1 a & b & c & d & e & f g & h & i & j & l & m
de posto 3. As linhas de A são os vetores v1,dots, v5in R^6.
Como o posto (row rank) é 3, o espaço de linhas mathscr L(A) tem dimensão 3. Precisamos decidir a veracidade de cada afirmação usando conceitos de dependência linear, geradores e base.

Passo 2

Mostramos que v1, v2, v3 são L.I.
Basta observar o sub–bloco das três primeiras linhas e colunas:
M= 2 & 1 & 0 0 & 5 & 3 0 & 0 & -2 ,
que é triangular superior com
det(M)=2cdot5cdot(-2)neq0.
Logo v1, v2, v3 são independentes e formam 3 vetores em mathscr L(A), cujo máximo é 3.

Passo 3

Como dimmathscrL(A)=3 e já temos 3 vetores independentes v1, v2, v3, esses vetores geram todo mathscrL(A). Portanto
v4 in >=r[v1, v2, v3] e v5 in >=r[v1, v2, v3],
isto é, a afirmação (c) é verdadeira.
Além disso, v1, v2, v3 é um conjunto L.I. de dimensão igual à de mathscrL(A), logo é base de mathscrL(A). Assim, (e) é verdadeira.

Passo 4

Em um espaço de dimensão 3, qualquer conjunto com mais de 3 vetores é L.D. Como v1, v2, v3, v4 tem 4 vetores, ela é necessariamente L.D. Logo (d) é verdadeira.

Passo 5

O posto ser 3 não implica que v4 e v5 sejam obrigatoriamente o vetor nulo; elas apenas precisam ser combinação das três primeiras. Portanto não se pode afirmar que v4=0 nem v5=0. Assim, (a) é falsa.

Passo 6

Dois vetores em um espaço de dimensão 3 podem ser L.I. ou L.D.; não há garantia de que v4 e v5 sejam sempre L.D. Logo (b) é falsa.

Resposta

(a) F
(b) F
(c) V
(d) V
(e) V

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