Exercício 14. Verifique se os planos π1 e π2 são perpendiculares entre si.
π1: x+y-4=0 e π2:lx=2-h+2 t y=h+t z=t.

Passo 1

O enunciado nos dá dois planos e pede para verificar se eles são perpendiculares. O conteúdo aqui é geometria no espaço: dois planos são perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais são ortogonais (produto interno igual a zero). Para resolver, vamos extrair o vetor normal do plano dado em forma implícita e o vetor normal do plano dado em forma paramétrica, e em seguida calcular o produto interno entre eles.

Passo 2

Para o plano pi1:x+y-4=0, o vetor normal é dado pelos coeficientes de x,y,z na equação. Logo,
n1 = (1,1,0)

Passo 3

O plano
As direções associadas aos parâmetros são:

Passo 4

O vetor normal n2 de pi2 é dado pelo produto vetorial vh times vt. Calculando:
n2 = i & j & k -1 & 1 & 0 2 & 1 & 1 = l(1cdot1 - 0cdot1,; -l(-1cdot1 - 0cdot2r),; -1cdot1 - 1cdot2r) = (1,1,-3)

Passo 5

Agora verificamos se n1 e n2 são ortogonais calculando o produto interno:
n1 cdot n2 = (1,1,0)cdot(1,1,-3) = 1cdot1 + 1cdot1 + 0cdot(-3) = 2
Como o produto interno não é zero, os vetores não são perpendiculares.

Resposta

Os planos pi1 e pi2 não são perpendiculares, pois seus vetores normais têm produto interno igual a 2neq0.

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