Em cada item a seguir, encontre uma base para a interseção W1 cap W2 e, em seguida, complete esta base tanto a uma base de W1 como a uma base de W2.
W1 e W2 são os subespaços vetoriais de R^5 dados por W1=>=r[u1, u2, u3], W2= >=r[v1, v2, v3], onde
ll u1=(1,0,3,3,2) & v1=(-1,0,-1,-2,1) u2=(2,1,4,4,-1) & v2=(-1,0,-2,-2,-1) u3=(0,1,-1,-2,-3) & v3=(-3,-1,-6,-5,-1)

Passo 1

O enunciado pede para achar uma base de W1capW2, sabendo que
W1=spanu1,u2,u3 e
W2=spanv1,v2,v3 em R^5.
Vamos usar a ideia de que
a1u1+a2u2+a3u3 ;=; b1v1+b2v2+b3v3
descreve exatamente os vetores que estão em ambas as geradoras.

Passo 2

Escrevendo as coordenadas e igualando, obtemos um sistema que, após eliminação, leva à condição
a1+a2-a3=0
Isso significa que todo vetor da interseção é
a1u1+a2u2+(a1+a2)u3 =;a1(u1+u3)+a2(u2+u3),
logo
W1capW2 =span,u1+u3,;u2+u3

Passo 3

Para estender essa base a uma base de W1 (dimensão 3), basta adicionar um vetor de u1,u2,u3 que não esteja na interseção. Por exemplo, u1 não se escreve como combinação de u1+u3 e u2+u3.

Passo 4

De modo análogo, para estender a uma base de W2, escolhemos um vetor em v1,v2,v3 que não esteja em W1capW2. Um bom candidato é v1, pois não satisfaz a condição de interseção.

Resposta

Base de W1capW2:
;u1+u3=(1,1,2,1,-1), u2+u3=(2,2,3,2,-4)
Base de W1 obtida estendendo:
;(1,1,2,1,-1),;(2,2,3,2,-4),;(1,0,3,3,2)
Base de W2 obtida estendendo:
;(1,1,2,1,-1),;(2,2,3,2,-4),;(-1,0,-1,-2,1)

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