Em cada item a seguir, encontre uma base para a interseção W1 cap W2 e, em seguida, complete esta base tanto a uma base de W1 como a uma base de W2.
W1 e W2 são os subespaços vetoriais de R^5 dados por W1=>=r[u1, u2, u3, u4], W2= >=r[v1, v2, v3, v4], onde
ll u1=(-1,1,2,0,0) & v1=(1,1,-2,0,0) u2=(-1,0,1,0,0) & v2=(-2,-1,-1,-1,1) u3=(2,2,2,1,0) & v3=(-1,0,3,1,0) u4=(1,1,0,1,1) & v4=(-2,-1,1,0,1)

Passo 1

O enunciado dá
W1=spanu1,u2,u3,u4 e
W2=spanv1,v2,v3,v4 em R^5,
com
u1&=(-1,1,2,0,0),& u2&=(-1,0,1,0,0),& u3&=(2,2,2,1,0),& u4&=(1,1,0,1,1), v1&=(1,1,-2,0,0),& v2&=(-2,-1,-1,-1,1),& v3&=(-1,0,3,1,0),& v4&=(-2,-1,1,0,1)
Precisamos achar uma base de W1cap W2, ou seja, todos os vetores que se escrevem simultaneamente como combinação linear dos ui e dos vj. Em seguida, devemos completar essa base a uma base de W1 e a uma base de W2.

Passo 2

Procuramos (a1,a2,a3,a4) e (b1,b2,b3,b4) tais que
a1u1+a2u2+a3u3+a4u4 ;=; b1v1+b2v2+b3v3+b4v4
Escrevendo isso coordenada a coordenada e reunindo todos termos num sistema homogêneo, obtemos uma matriz 5times8 cujas variáveis são a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4. Ao escalonar, encontramos que há três variáveis livres, digamos
b2=s, b3=t, b4=u,
e que as outras variáveis se expressam em função de s,t,u.

Passo 3

O escalonamento leva ao parâmetro geral
(a1,a2,a3,a4) =(,3s+u-2t,,-5s+5t-u,,-2s-u+t,;s+u;), (b1,b2,b3,b4) =(,s+u,;s,;t,;u;)
Cada tripla (s,t,u) fornece um vetor da interseção; em particular, para
(s,t,u)=(1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) obtemos, via
sum aiui, três vetores de W1cap W2. Calculando essas combinações, definimos
w1&=u1cdot3;+;u2cdot(-5);+;u3cdot(-2);+;u4cdot1 =(-1,0,-3,-1,1), w2&=u1cdot(-2);+;u2cdot5;+;u3cdot1;+;u4cdot0 =(-1,0,3,1,0), w3&=u1cdot1;+;u2cdot(-1);+;u3cdot(-1);+;u4cdot1 =(-1,0,-1,0,1)
Pode-se verificar que w1,w2,w3 é um conjunto linearmente independente e que qualquer vetor na interseção se escreve como combinação linear desses três.

Passo 4

Para completar w1,w2,w3 a uma base de W1, basta adicionar um ui que não esteja no span de w1,w2,w3. Observamos que todo wj tem segunda coordenada zero, enquanto u1=(-1,1,2,0,0) tem a segunda coordenada igual a 1. Logo,
w1,,w2,,w3,,u1
é uma base de W1.

Passo 5

Análogo para W2: todos os wj têm segunda coordenada zero, e v1=(1,1,-2,0,0) tem segunda coordenada 1. Portanto
w1,,w2,,w3,,v1
é uma base de W2.

Resposta

Base de W1cap W2:
,(-1,0,-3,-1,1),;(-1,0,3,1,0),;(-1,0,-1,0,1)
Estendendo a uma base de W1:
,(-1,0,-3,-1,1),;(-1,0,3,1,0),;(-1,0,-1,0,1),;(-1,1,2,0,0)
Estendendo a uma base de W2:
,(-1,0,-3,-1,1),;(-1,0,3,1,0),;(-1,0,-1,0,1),;(1,1,-2,0,0)

Exercícios relacionados