Em cada item a seguir, encontre uma base para a interseção
e, em seguida, complete esta base tanto a uma base de
como a uma base de
.
e
são os subespaços vetoriais de
dados por
,
, onde
Passo 1
O enunciado dá
e
em
,
com
com
Precisamos achar uma base de
, ou seja, todos os vetores que se escrevem simultaneamente como combinação linear dos
e dos
. Em seguida, devemos completar essa base a uma base de
e a uma base de
.
Passo 2
Procuramos
e
tais que
Escrevendo isso coordenada a coordenada e reunindo todos termos num sistema homogêneo, obtemos uma matriz
cujas variáveis são
. Ao escalonar, encontramos que há três variáveis livres, digamos
e que as outras variáveis se expressam em função de
.
Passo 3
O escalonamento leva ao parâmetro geral
Cada tripla
fornece um vetor da interseção; em particular, para
,
e
obtemos, via
, três vetores de
. Calculando essas combinações, definimos
Pode-se verificar que
é um conjunto linearmente independente e que qualquer vetor na interseção se escreve como combinação linear desses três.
Passo 4
Para completar
a uma base de
, basta adicionar um
que não esteja no span de
. Observamos que todo
tem segunda coordenada zero, enquanto
tem a segunda coordenada igual a
. Logo,
é uma base de
.
Passo 5
Análogo para
: todos os
têm segunda coordenada zero, e
tem segunda coordenada
. Portanto
é uma base de
.
Resposta
Base de
:
Estendendo a uma base de
:
Estendendo a uma base de
: