Exercício 16. Determine o ângulo que a reta r:lx=1-2 t y=-t z=3+t forma com o plano pi: x+y-5= 0.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo que a reta
r: x=1-2t, y=-t, z=3+t
forma com o plano
pi: x+y-5=0
O conteúdo é geometria vetorial: para achar o ângulo phi entre reta e plano, usamos o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano, com a fórmula
sinphi=l|ncdotvr||n|;|v|

Passo 2

Identificamos o vetor diretor v da reta pelos coeficientes de t:
v=(-2,,-1,,1)

Passo 3

Extraímos o vetor normal n do plano a partir dos coeficientes de x, y e z na equação x+y-5=0:
n=(1,,1,,0)

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
ncdotv=1cdot(-2)+1cdot(-1)+0cdot1=-3,
|n|=raiz1^2+1^2+0^2=raiz2, |v|=raiz(-2)^2+(-1)^2+1^2=raiz6

Passo 5

Aplicando a fórmula do ângulo entre reta e plano:
sinphi =l|ncdotvr||n|;|v| =3raiz2,raiz6 =3raiz12 =raiz32
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phi=arcsin!l(tfracraiz32r)=60^circ

Resposta

O ângulo entre a reta e o plano é 60^circ.

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